오일러-라그랑지 방정식

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개요

J = \int_a^b F(x,f(x),f'(x))\, dx 를 최대 또는 최소로 만들기 위한 조건

0 = \frac{\partial F}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial f'}

 

 

고전물리의 최소작용원칙

\displaystyle S(q) = \int_a^b L(t,q(t),q'(t))\, \mathrm{d}t

{\partial L\over\partial q} - {\mathrm{d}\over \mathrm{d}t }{\partial L\over\partial \dot{q}} = 0

 

 

예1. 입자의 운동

 

 

다변수인 경우로의 확장

I[f] = \int_{\Omega} \mathcal{L}(x_1, \dots , x_n, f, f_{x_1}, \dots , f_{x_n})\, \mathrm{d}\mathbf{x}\,\! ~;~~ f_{x_i} := \cfrac{\partial f}{\partial x_i}

\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial f} - \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_i} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial f_{x_i}} = 0. \,\!

 

 

 

 

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