타원곡선의 주기

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개요

 

 

정의

 

 

예

 

 

 

1종타원적분과의 관계

 

 

1종완전타원적분과 타원곡선의 주기1

\int_1^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x(x-1)(x-\lambda)}}=2K(k) = 2\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}=2\int_0^1\frac{1}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\,dx

여기서 \lambda=k^2.

\int_{c}^{b}\frac{dt}{\sqrt{(a-t)(b-t)(t-c)}}=\frac{2}{\sqrt{a-c}}K(\sqrt{\frac{b-c}{a-c}})

 

 

1종완전타원적분과 타원곡선의 주기2

K(k)=\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{\sqrt{x (x^2 - (4k^2-2)x + 1)}}=\int_0^1\frac{1}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\,dx

(증명)

k=\cos \alpha 로 두자.

K(\cos\alpha)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1 - \cos^2 \alpha \sin^2 \theta }}

=\int_{0}^{1} \frac{2dt}{\sqrt{t^4 - 2(2\cos^2 \alpha - 1)t^2 + 1}} (t =\tan (\theta/2) 로 치환)

=\int_{1}^{\infty} \frac{2dx}{\sqrt{x^4 - 2x^2 \cos 2\alpha + 1}} (x=\frac{1}{t} 로 치환)

=\int_{1}^{\infty} \frac{du}{\sqrt{u (u^2 - 2u \cos 2\alpha + 1)}} (u=x^2로 치환)

 

한편,  u=\frac{1}{v} 치환을 통하여

\int_{1}^{\infty} \frac{du}{\sqrt{u (u^2 - 2u \cos 2\alpha + 1)}}=\int_{0}^{1} \frac{dv}{\sqrt{v (v^2 - 2v \cos 2\alpha + 1)}}

임을 보일 수 있으므로,

2K(\cos\alpha)=\int_{0}^{\infty} \frac{du}{\sqrt{u (u^2 - 2u \cos 2\alpha + 1)}}

4K(\cos\alpha)는 타원곡선 y^2=x(x-e^{2i\alpha})(x-e^{-2i\alpha})=x(x^2 - 2x \cos 2\alpha + 1)}의 주기임을 알 수 있다. ■

 

 

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