클라우센 함수(Clausen function)

정의

$\operatorname{Cl}_2(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin \frac{t}{2}| \,dt=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin (n\theta)}{n^2}$

dilogarithm 함수는 복소수 에 대하여 다음과 같이 정의됨
$\operatorname{Li}_2(z)= \sum_{n=1}^\infty {z^n \over n^2}$

$|z|\leq 1$ 에서 고르게 수렴하는 급수이므로, $|z|\leq 1$ 에서 연속
$z=e^{i\theta}$ , $0 \leq \theta \leq 2\pi$ 일때

$\operatorname{Li}_2(e^{i\theta})= \sum_{n=1}^\infty \frac{e^{in\theta}}{n^2}=\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos n\theta}{n^2}+i\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta}{n^2}$

$\mathfrak{I}(\operatorname{Li}_2(e^{i\theta}))=\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta}{n^2}=Cl_2(\theta)$
Bloch-Wigner dilogarithm

$\Lambda(n\theta)=n\sum_{k=0}^{n-1}\Lambda(\theta+\frac{2k\pi}{n})$

$\theta=p\pi/q$ 일 때, ( $p,q\in\mathbb{N}$ , $p=1,2,\cdots,2q-1$ )

$\operatorname{Cl}_2(\frac{p\pi}{q})=\frac{1}{4q^2}\sum_{r=1}^{2q-1}\psi^{(1)}(\frac{r}{2q})\sin\frac{rp\pi}{q}$

여기서 $\psi^{(1)}$ 는 트리감마 함수(trigamma function)
$\operatorname{Cl}_2(\frac{\pi}{2})=G$ , 는 카탈란 상수
$\operatorname{Cl}_2(\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{12}(\psi^{(1)}(\frac{1}{3})-\psi^{(1)}(\frac{2}{3}))$
http://mathworld.wolfram.com/GiesekingsConstant.html

$\int_{0}^{\pi/3}\operatorname{Cl}_2(x)\,dx=\frac{2}{3}\zeta(3)$

단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
발음사전 http://www.forvo.com/search/
대한수학회 수학 학술 용어집
- http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
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