무리수와 디오판투스 근사

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개요

디리클레 근사정리(Dirichlet's approximation theorem)

디리클레 근사정리(Dirichlet's approximation theorem)에서 가져옴

무리수 $\alpha$ 에 대하여, 부등식

$|\alpha-\frac{p}{q}|<\frac{1}{q^2}$

는 무한히 많은 유리수 p/q 에 의하여 만족된다.

더 나아가 다음이 성립한다(후르비츠 정리)

무리수 $\alpha$ 에 대하여, 부등식

$|\alpha-\frac{p}{q}|<\frac{1}{\sqrt{5}{q^2}}$

는 무한히 많은 유리수 에 의하여 만족된다. (하지만 여기서 $\sqrt{5}$ 는 더 큰 수로 대체될 수 없다.)
연분수 항목 참조

리우빌 정리

리우빌 정리 (1844)

무리수이면서 차수가 d인 대수적수 $\alpha$ 와 임의의 양수 $\epsilon>0$ 에 대하여, 부등식

$\vert \alpha - \frac{p}{q} \vert < \frac{1}{q^{d+\epsilon}}$

의 유리수해 의 개수는 유한하다
리우빌 정리의 또다른 버전

무리수이면서 차수가 d인 대수적수 $\alpha$ 에 대하여, 적당한 상수 $c(\alpha)>0$ 가 존재하여, 모든 유리수 에 대하여 다음 부등식이 만족된다.

$\vert \alpha - \frac{p}{q} \vert > \frac{c(\alpha)}{q^{d}}$

이 정리를 사용하여, 리우빌 상수 c가 초월수임을 증명할 수 있다

$c = \sum_{j=1}^\infty 10^{-j!} = 0.110001000000000000000001000\ldots$

Thue-Siegel-Roth 정리

주어진 $\epsilon}>0$ 에 대하여, 무리수이면서 대수적인수 $\alpha$ 에 대하여, 부등식

$\left|\alpha - \frac{p}{q}\right| < \frac{1}{q^{2 + \epsilon}}$

의 유리수해 p/q 는 유한하다

재미있는 사실

Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=

역사

1844 리우빌
1909 Thue
1921 지겔
1955 Roth (1958년 필즈메달)
http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=diophantine+approximation
http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
수학사연표

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관련된 항목들

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http://ko.wikipedia.org/wiki/
http://en.wikipedia.org/wiki/Diophantine_approximation
http://en.wikipedia.org/wiki/Liouville_number
http://en.wikipedia.org/wiki/
http://www.wolframalpha.com/input/?i=
NIST Digital Library of Mathematical Functions
The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=

관련논문

Diophantine Approximation: historical survey
- From Introduction to Diophantine methods course by Michel Waldschmidt.
- Introduction to Diophantine methods: irrationality and transcendence
http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
http://www.ams.org/mathscinet
http://dx.doi.org/

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