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    수학이 알고싶은 중고대딩들을 위한 수학 노트

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i^i 는 무엇일까?

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개요

  • i^{i}의 값은 하나로 결정되는 것이 아니라, 무한히 많다. 이는 복소로그함수 가 무한히 많은 값을 갖기 때문이다. 

  • i^{i}=\cdots,e^{-\frac{5\pi}{2}},e^{-\frac{\pi}{2}},e^{\frac{3\pi}{2}},\cdots

  • 주치(principal value)는 e^{-\frac{\pi}{2}}로 주어진다. 

 

 

복소거듭제곱

대학교 학부과정의 복소함수론에서는 복소수의 복소수 거듭제곱을 다음과 같이 정의한다.

두 복소수 z,\alpha에 대하여,z^{\alpha}:=e^{\alpha \log z}. 여기서 \log z는 복소로그함수.

(이 정의에서는 복소지수함수 (오일러의 공식 e^{iπ}+1=0 참조)와 복소로그함수 가 사용되었다. )

 

복소로그함수에 대하여, 잠시 복습을 하자. 복소로그함수는 복소수 z = re^{i\theta} 에 대하여, 다음과 같이 정의된다

\log z = \ln|z| + i\arg(z) = \ln(r) + i\left(\theta + 2 \pi k \right). 여기서 k\in\mathbb{Z}.

예를 들어보자면, 

\log 1 = \ln|1| + i\arg(1) = \ln(1) + i\left(0 + 2 \pi k \right) =\cdots, -6\pi i,-4\pi i,-2\pi i,0,2\pi i,4\pi i,6\pi i, \cdots

 

 

 

i^i의 계산

i^{i}=e^{i \log i} 이므로 먼저 \log i를 계산하자. 

\log i = \ln|i| + i\arg(i) = i\left(\frac{\pi}{2} + 2 \pi k \right) =\cdots, ,\frac{\pi}{2}i-4\pi i,\frac{\pi}{2}i-2\pi i,\frac{\pi}{2}i,\frac{\pi}{2}i+2\pi i,\frac{\pi}{2}i+4\pi i,\cdots

 

이제 정의와 위의 결과를 활용하여, 

i^{i}=e^{i \log i}=e^{i(\frac{\pi}{2}+2k\pi)i}=e^{-(\frac{\pi}{2}+2k\pi)}=e^{-\frac{\pi}{2}}e^{-2k\pi} ,  k\in\mathbb{Z} 를 얻는다.

따라서,

i^{i}=\cdots,e^{-\frac{5\pi}{2}},e^{-\frac{\pi}{2}},e^{\frac{3\pi}{2}},\cdots

주치(principal value)는 k=0인 경우로, i^{i}=e^{-\frac{\pi}{2}}가 된다.

 

 

역사

 

 

 

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Last edited on 11/07/2011 01:29 by 피타고라스

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