앤드류스-고든 항등식(Andrews-Gordon identity)

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앤드류스-고든 항등식(Andrews-Gordon identity)

개요

로저스-라마누잔 항등식의 일반화
모듈라 성질을 가지며(모듈라 형식(modular forms) 참조), q-초기하급수(q-hypergeometric series) 형태로 표현 가능
등각장론에서 c(2, 2k+1) minimal models 의 캐릭터

$\chi_j(\tau)=q^{h_j-c/24}\prod_{n\neq 0,\pm(j+1)}(1-q^n)^{-1}$

항등식

자연수 $k\geq 2$ , $1\leq i \leq k$ 에 대하여, 다음이 성립한다

$\sum_{n_1,\cdots,n_{k-1}\geq0}\frac{x^{N_1^2+\cdots+N_{k-1}^2+N_i+\cdots+N_{k-1}}}{(x)_{n_1}...(x)_{n_{k-1}}}=\prod_{r\neq 0,\pm i \pmod {2k+1}}\frac{1}{1-x^r}$

여기서 $j\leq k-1$ 이면 $N_j=n_j+\cdots+n_{k-1}$ , 이면
여러 문헌에서 다음과 같이 표현되기도 한다

$\sum_{n_1\geq\cdots\geq n_{k-1}\geq0}\frac{q^{n_1^2+\cdots+n_{k-1}^2+n_i+\cdots+n_{k-1}}}{(q)_{n_{1}-n_{2}}\cdots (q)_{n_{k-2}-n_{k-1}}(q)_{n_{k-1}}}=\prod_{n\neq 0,\pm i\pmod {2k+1}}(1-q^n)^{-1}$

k=2인 경우 : 로저스-라마누잔 항등식

k=2인 경우, 로저스-라마누잔 연분수와 항등식을 얻는다
i=1인 경우

$H(q) =\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2+n}} {(q;q)_n} = \frac {1}{(q^2;q^5)_\infty (q^3; q^5)_\infty} =1+q^2 +q^3 +q^4+q^5 +2q^6+\cdots$
i=2인 경우

$G(q) = \sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2}} {(q;q)_n} = \frac {1}{(q;q^5)_\infty (q^4; q^5)_\infty} =1+ q +q^2 +q^3 +2q^4+2q^5 +3q^6+\cdots$

k=3인 경우

i=1인 경우

$\sum_{n_1,n_{2}\geq0}\frac{q^{n_{1}^2+2n_1n_2+2n_{2}^{2}+n_1+2n_2}}{(q)_{n_1}(q)_{n_{2}}}=\prod_{r\neq 0,\pm 1 \pmod {7}}\frac{1}{1-q^r}=\frac{(q;q^7)_\infty (q^6; q^7)_\infty(q^7;q^7)_\infty}{(q)_\infty}$
i=2인 경우

$\sum_{n_1,n_{2}\geq0}\frac{q^{n_{1}^2+2n_1n_2+2n_{2}^{2}+n_2}}{(q)_{n_1}(q)_{n_{2}}}=\prod_{r\neq 0,\pm 2 \pmod {7}}\frac{1}{1-q^r}=\frac{(q^2;q^7)_\infty (q^5; q^7)_\infty(q^7;q^7)_\infty}{(q)_\infty}$
i=3인 경우

$\sum_{n_1,n_{2}\geq0}\frac{q^{n_{1}^2+2n_1n_2+2n_{2}^{2}}}{(q)_{n_1}(q)_{n_{2}}}=\prod_{r\neq 0,\pm 3 \pmod {7}}\frac{1}{1-q^r}=\frac{(q^3;q^7)_\infty (q^4; q^7)_\infty(q^7;q^7)_\infty}{(q)_\infty}$

얻어지는 이차형식

$n_{1}^{2}$

$(n_{1}+n_{2})^{2}+n_{2}^{2}$

$(n_{1}+n_{2}+n_{3})^{2}+(n_{2}+n_{3})^{2}+n_{3}^{2}$

$(n_{1}+n_{2}+n_{3}+n_{4})^{2}+(n_{2}+n_{3}+n_{4})^{2}+(n_{3}+n_{4})^{2}+n_{4}^{2}$

행렬은

$\text{A=}\left( \begin{array}{ccccc} 2 & 2 & 2 & 2 & 2 \ 2 & 4 & 4 & 4 & 4 \ 2 & 4 & 6 & 6 & 6 \ 2 & 4 & 6 & 8 & 8 \ 2 & 4 & 6 & 8 & 10 \end{array} \right)$

역사

1961 고든
http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=ramanujan+gordon+andrews
수학사연표

메모

수학용어번역

단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
발음사전 http://www.forvo.com/search/
대한수학회 수학 학술 용어집
- http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
남·북한수학용어비교
대한수학회 수학용어한글화 게시판

사전 형태의 자료

http://ko.wikipedia.org/wiki/
http://en.wikipedia.org/wiki/
http://www.proofwiki.org/wiki/
http://mathworld.wolfram.com/Andrews-GordonIdentity.html
http://www.wolframalpha.com/input/?i=
NIST Digital Library of Mathematical Functions
The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=

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