슈바르츠 삼각형 함수 (s-함수)

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슈바르츠 삼각형 함수 (s-함수)

개요

automorphic 함수
슈워츠 삼각형 함수라고도 불림
세 파라메터 a,b,c에 대한 초기하 미분방정식의 일차독립인 두 해의 비율로 얻어지는 함수
$\alpha=1-c,\beta=b-a,\gamma=c-a-b$ 로 두면, 상반평면을 $\alpha\pi,\beta\pi,\gamma\pi$ 를 세 각으로 갖는 삼각형으로 보낸다
역함수를 슈워츠 s-함수라 한다
맴돌이군이 유한인 초기하 미분방정식에 대한 슈워츠 목록 의 연구에서 중요한 역할

$s(z)=\frac{z^{1-c}\,_2F_1(a',b';c';z)}{\,_2F_1(a,b;c;z)}=\frac{z^{1-c}\,_2F_1(a-c+1,b-c+1;2-c;z)}{\,_2F_1(a,b;c;z)}$

a'=a-c+1 , b'=b-c+1 , c'=2-c

예

오차방정식과 정이십면체

$\alpha=1/5, \beta=1/2, \gamma=1/3$ 로 두면, 를 얻는다
를 이용하면,

$s(z)=\frac{z^{1/5} \, _2F_1\left(\frac{11}{60},\frac{41}{60};\frac{6}{5};z\right)}{\, _2F_1\left(-\frac{1}{60},\frac{29}{60};\frac{4}{5};z\right)}$

$s(1)=\frac{\Gamma \left(\frac{19}{60}\right) \Gamma \left(\frac{49}{60}\right) \Gamma \left(\frac{6}{5}\right)}{\Gamma \left(\frac{31}{60}\right) \Gamma \left(\frac{4}{5}\right) \Gamma \left(\frac{61}{60}\right)}$

역사

http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
수학사연표

메모

http://scholar.google.com/scholar?hl=ko&lr=&cites=15616345421055553453&um=1&ie=UTF-8&ei=b7oGTqSRFZSusAOp-7W6DQ&sa=X&oi=science_links&ct=sl-citedby&resnum=8&ved=0CF8QzgIwBw

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http://www.wolframalpha.com/input/?i=
NIST Digital Library of Mathematical Functions
The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=

관련논문

Note on the Schwarz triangle functions
- Mark Harmer, Bull. Austral. Math. Soc. 72(3) pp.385--389, 2005.
Note on the Schwarz triangle functions
- J. Lehner, Pacific J. Math. 4 (1954), pp. 243--249
http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
http://www.ams.org/mathscinet
http://dx.doi.org/

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