바이어슈트라스 치환

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개요

는 의 유리함수라고 가정
$R(\cos x, \sin x)$ 의 적분을 유리함수의 적분으로 바꾸기 위해 바이어슈트라스 치환을 사용한다

$t=\tan \frac{x}{2}$

바이어슈트라스 치환

다음과 같은 치환적분을 사용 (이를 바이어슈트라스 치환 이라 한다)

$t=\tan \frac{x}{2}$ , $\frac{dx}{dt}=\frac{2}{1+t^2}$ , $\sin x=\frac{2t}{1+t^2}$ , $\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$

$\int R(\cos x, \sin x) \,dx= \int R(\frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2})\frac{2}{1+t^2}\,dt$

쌍곡함수의 바이어슈트라스 치환

$R(\cosh x, \sinh x)$ 의 적분에 응용할 수 있다

다음과 같은 치환적분을 사용

$t=\tanh \frac{x}{2}$ , $\frac{dx}{dt}=\frac{2}{1-t^2}$ , $\sinh x=\frac{2t}{1-t^2}$ , $\cosh x=\frac{1+t^2}{1-t^2}$

$\int R(\cosh x, \sinh x) \,dx= \int R(\frac{1+t^2}{1-t^2}, \frac{2t}{1-t^2})\frac{2}{1-t^2}\,dt$

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