1/(1+x^2)의 적분

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1/(1+x^2)의 적분

트위터에서 이야기된 적분문제

$\int \frac{1}{1+x^2}\,dx=?$

엊그제 사람들이 트위터에서 위의 적분문제에 대하여 이야기를 나누었다.

치환적분을 통한 해결과 의문들

$x=\tan t$ 로 치환하면,

$dx=(\tan t)'\,dt=\sec^2 t\,dt$

$1+x^2=1+\tan^2 t=\sec^2 t$ 이므로

$\int \frac{1}{1+x^2}\,dx=\int 1 \,dt=t+C=\arctan x+C$

를 얻게 된다.

이러이러하면 저러저러하게 된다는 것은 알겠는데, '이러한 치환적분을 어떻게 하면 자연스럽게 잘 이해할 수 있을까'가 사람들이 궁금해할 만한 점일 것 같다.

역사적으로 삼각치환이 어떻게 발전했는가를 알아보는것은 쉬울것 같지 않은데, 여기서는 대신에 이러한 류의 치환적분이 수학 속에 어떻게 자리잡고 있는지를 조금 이야기해볼까 한다.

함수와 도함수가 만족시키는 간단한 관계

함수 f(t) 에 대하여 x=f(t), y=f'(t) 로 두어보자.

삼각함수와 쌍곡함수들의 경우, 다음과 같은 재미있는 패턴들을 발견할 수 있게 된다.

$x=\cos t, y=-\sin t, x^2+y^2=1, y=-g(x)=-\sqrt{1-x^2}$

$x=\sin t, y=\cos t, x^2+y^2=1, y=g(x)=\sqrt{1-x^2}$

$x=\cosh t, y=\sinh t, x^2-y^2=1, y= g(x)=\sqrt{x^2-1}$

$x=\sinh t, y=\cosh t, x^2-y^2=-1, y=g(x)=\sqrt{1+x^2}$

$x=\tan t, y=\sec^2 t, x^2-y=-1, y=g(x)=x^2+1$

$x=\cot t, y=-\csc^2 t, x^2+y=-1, y=g(x)=-1-x^2$

$x=\tanh t, y=\operatorname{sech}^2 t, x^2+y=1, y=g(x)=1-x^2$

$x=\coth t, y=-\operatorname{csch}^2 t, x^2+y=1, y=g(x)=1-x^2$

한가지 눈에 띄는 것은, 여기에 등장하는 대수곡선 $x^2+y^2=1,x^2-y^2=\pm 1, x^2+y=\pm1, x^2-y=-1$ 들이 이차곡선(원뿔곡선) 이라는 점이다.

적분에의 응용

위에서 보여준 함수들처럼 함수 f(t) 의 도함수 f'(t) 가 f(t) 의 간단한 함수로 표현되는 경우, 즉 적당한 함수 에 대하여 f'(t)=g(f(t)) 로 표현할 수 있는 경우,

$\int \frac{1}{g(x)}\,dx$

를 구하는 문제는 다음과 같이 해결될 수 있다.

$\int \frac{1}{g(x)}\,dx=\int \frac{f'(t)}{g(f(t))}\,dt=\int \frac{f'(t)}{f'(t)}\,dt=f^{-1}(x)+C$

요약하자면, 본래함수와 그 도함수가 만족시키는 간단한 관계를 찾을 수 있는 함수들은, 어떤 특정한 함수의 부정적분을 구하는 문제에 응용할 수 있다는 것이다.

예)

$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx=\arcsin x+C$

$\int \frac{1}{1+x^2}\,dx=\arctan x+C$

타원적분에의 응용

이러한 원리를 이용하면, 타원함수와 타원적분의 관계에 대해서도 생각해 볼 수 있게 된다.

어떤 적당한 상수 g_2, g_3 에 대하여 바이어슈트라스의 타원함수 라는 (적어도 수학과 대학원생들에게는) 잘 알려진 복소함수가 있다.

$\wp(z)=z^{-2}+\frac{g_2}{20}z^2+\frac{g_3}{28}z^4+\frac{g_2^2}{1200}z^6+\cdots$

이 함수의 도함수는 다음을 만족시킨다.

$\wp'(z)^2=4\wp(z)^3-g_2\wp(z)-g_3$

위에서 삼각함수와 같이 이 함수도 본래의 함수와 그 도함수가 만족시키는 간단한 관계를 여기서도 찾을 수 있는 셈이다. 여기서는 $g(x)=\sqrt{4x^3-g_2x-g_3}$ 가 된다.

삼각함수에서는 x^2+y^2=1 와 같은 이차곡선이 얻어졌다면, 여기서는 y^2=4x^3-g_2x-g_3 와 같은 3차곡선, 즉 타원곡선 (이차곡선의 하나인 타원과는 다른 것임) 이 얻어지게 된다.

따라서 다음과 같은 적분문제의 답은

$\int \frac{\,dx}{\sqrt{4x^3-g_2x-g_3}}=\wp^{-1}(x)+C$

즉, 바이어슈트라스의 타원함수 $\wp(z)$ 의 역함수가 된다.

삼각함수와 타원함수 사이의 비슷한 점들

x,y 의 유리함수 R(x,y) 가 주어졌을때, $\int R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\,dx$ 와 같은 적분 문제에서 삼각치환이 자연스럽게 보이는 이유는 사실 적분의 역함수로 등장하는 함수들,

$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx=\arcsin x+C$

$\int \frac{1}{1+x^2}\,dx=\arctan x+C$

즉, $\sin x,\tan x$ 과 같은 삼각함수들을 우리가 잘 이해하고 있기 때문이며, 이러한 함수들은 이차곡선(원뿔곡선)의 이론과 필연적으로 만나게 된다.

다음과 같은 형태의 적분

$\int R(x,\sqrt{ax^3+bx^2+cx+d}) \,dx$ 또는

$\int R(x,\sqrt{ax^4+bx^3+cx^2+dx+e}) \,dx$

을 타원적분이라 하는데, 위에서 삼각함수의 역할과 마찬가지로 타원적분의 역함수로서 타원함수를 도입하게 되면, 적분을 이해하는 문제로부터 타원함수를 얼마나 깊이 이해하는가가 새로운 관건으로 등장하게 된다.

$\sin x,\tan x$ 라는 함수를 써서 치환적분하는 것이 허용된다면, 왜 바이어슈트라스의 타원함수 $\wp(z)$ 로 치환적분 하면 안되겠는가? 그리고 이 때 등장하는 곡선은 이차곡선이 아닌 y^2=4x^3-g_2x-g_3 과 같은 타원곡선이다.

적분과 대수기하 : 역사적인 관점

이러한 생각들은 타원함수론의 발전에 지대한 공헌을 했던 칼 야코비의 '언제나 뒤집어라' ('man muss immer umkehren') 라는 말 속에 함축되어 있다.

아벨과 야코비는 1820년대부터 18세기부터 수학계의 뜨거운 화두였던 타원적분의 역함수로서의 타원함수와 그 이중주기와 같은 성질을 발견하고 이해를 심화시키는 경쟁에 들어간다.

그리고 훗날 리만은 이러한 타원함수들의 이중주기를 리만곡면인 토러스(즉, y^2=4x^3-g_2x-g_3 와 같은 타원곡선)에서 정의된 함수로 이해하는 새로운 관점을 제시한다

이렇게 하여 기묘했던 적분의 기술들로부터, 어떤 함수들과 그에 연관된 대수곡선의 이해로, 수학의 방향전환이 시작되며, 현대의 추상적인 대수기하의 언어속에서 적분이란 그 구체적인 모습이 사라진채 흔적만 남아있게 된다.

Zagier와 Kontsevich가 2001년에 내놓은 'Periods' 라는 제목의 글에는 이러한 말이 있다. "It can be said without much overstretching that a large part of algebraic geometry is (in a hidden form) the study of integrals of rational functions of several variables. "

이렇게 역사적으로 적분의 문제들은 함수론과 대수곡선론이 자연스럽게 만나는 풍요로운 토양을 제공하였다. 다시 말하지만 결코 사소하지 않다 (피타고라스의 창, 2009-2-4)