극한의 엄밀한 정의 - 엡실론과 델타

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개요

 

 

 

예

\lim_{x\to 0} x^2=0 의 증명

(증명)

\epsilon>0 이 주어졌다고 가정하자. \delta=\sqrt{\epsilon}/2라 두자.

0<|x-0|<\delta=\sqrt{\epsilon}/2이면,

|x^2-0|<\epsilon/4<\epsilon 이다.

따라서 \lim_{x\to 0} x^2=0이 성립한다. ■

 

 

예

\lim_{(x,y)\to(3,2)}\frac{y}{x-1}=1 의 증명

 

(증명)

먼저 몇 개의 부등식을 보자.

\sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2}<\delta라 가정하자.

(1) |x-3|\leq \sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2}<\delta  => |x-3|<\delta

(2) |y-2|\leq \sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2}<\delta => |y-2|<\delta

(3) |y-x+1|=|(y-2)-(x-3)|\leq |y-2|+|x-3|<2\delta

(4) |x-3|<\delta 를 |(x-1)-2|<\delta로 다시 쓰면, 2-\delta<|x-1|<2+\delta를 얻는다.

 

\epsilon>0 이 주어졌다고 가정하자. \delta를 \{1,{\epsilon}/2\}의 최소값이라 하자.

위에서 얻는 부등식 (3) 으로부터 |y-x+1|<2\delta\leq \epsilon 이 성립한다.

부등식 (4) 에서 |x-1|>2-\delta\geq 1 이므로, \frac{1}{|x-1|}<1이다.

|\frac{y}{x-1}-1|=|\frac{y-x+1}{x-1}|<|y-x+1|<\epsilon

그러므로,

\lim_{(x,y)\to(3,2)}\frac{y}{x-1}=1이 성립한다. ■

 

 

예

\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy^2}{x^2+y^2}=0 의 증명

 

(증명)

\delta=\frac{\epsilon}{2} 로 두자.

|\sqrt{x^2+y^2}|<\delta=\frac{\epsilon}{2} 이면, |\frac{xy^2}{x^2+y^2}-0|=|x||\frac{y^2}{x^2+y^2}|\leq |x|<\epsilon

\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy^2}{x^2+y^2}=0이 성립한다. ■

 

 

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