등시강하곡선 문제 (Tautochrone problem)

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개요

 

 

등시성의 증명

Tautochrone_curve(1).gif

(정리) 사이클로이드를 따라 움직이는 추의 주기는 시작점의 위치에 관계없이 다음으로 주어진다.

T =2\pi\sqrt{\frac{r}{g}}

(이 때, 사이클로이드의 방정식은 x = r(\theta - \sin \theta), y = -r(1 - \cos \theta)로 주어졌다고 하자.)

(증명)

출발점의 y좌표를 y=y_0라 두고, 그 때 곡선의 파라메터를 \theta=\theta_0라 하자.

움직이는 추의 속도는 v=\sqrt{2g(y_0-y)}= \sqrt{2rg(\cos\theta_0-\cos\theta)} 로 주어진다. 따라서 주기를 다음과 같이 쓸 수 있다.

T =\int \frac{ds}{v}=2\int_{\theta_0}^{\pi} \frac{\sqrt{2r^2(1-\cos\theta)}}{\sqrt{2rg(\cos\theta_0-\cos\theta)}}\,d\theta=2\sqrt{\frac{r}{g}}\int_{\theta_0}^{\pi} \frac{\sqrt{1-\cos\theta}}{\sqrt{\cos\theta_0-\cos\theta}}\,d\theta

반각공식을 이용하여, 우변을

2\sqrt{\frac{r}{g}}\int_{\theta_0}^{\pi}\frac{\sin(\frac{1}{2}\theta)}{\sqrt{\cos^2(\frac{1}{2}\theta_0)-\cos^2(\frac{1}{2}\theta)}}d\theta 로 쓸 수 있다.

u=\frac{\cos \frac{1}{2}\theta}{\cos \frac{1}{2}\theta_0}로 치환하면, du=\frac{-\sin \frac{1}{2}\theta}{2\cos \frac{1}{2}\theta_0}\,d\theta 를 얻는다.

따라서

T =4\sqrt{\frac{r}{g}}\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\,du=2\pi\sqrt{\frac{r}{g}}■

 

 

 

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