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    수학이 알고싶은 중고대딩들을 위한 수학 노트

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최단시간강하곡선 문제(Brachistochrone problem)

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개요
  • 중력을 받고 있는 물체가 정지상태에서 출발하여 가장 짧은 시간내에 하강하기 위해서 따라야 하는 곡선

  • 1697년에 베르누이에 의하여 답이 출판

    ParabNickF.gif

 

 

곡선의 시작점을 (x_0,y_0)=(0,0), 끝점을 (x_1,y_1)라 두자.

곡선을 따라 내려올때 걸리는 시간은 다음과 같이 구할 수 있다.

t=\int \frac{1}{v} \, ds(v는 속력, ds 는 길이요소, t는 시간)

에너지 보존 법칙 mgy=\frac{1}{2}mv^2  에서v=\sqrt{2gy}.

이제 곡선의 x좌표를 y의 함수로 생각하자. 곡선을 따라 내려올 때 걸리는 시간은

T=\int \frac{1}{v} \, ds=\frac{1}{\sqrt{2g}}\int_{0}^{y} \frac{\sqrt{1+x'(y)^2}}{\sqrt{y}} \, dy

문제의 정의에 따라 이 적분값을 최소가 되게 하는 곡선을 찾아야 한다.

F(y,x,x')=\frac{\sqrt{1+(x')^2}}{\sqrt{y}} 에 대하여 오일러-라그랑지 방정식 을 적용하면,

0 =\frac{\partial F}{\partial x} - \frac{d}{dy} \frac{\partial F}{\partial x'}=-\frac{d}{dy}(\frac{x'(y)}{\sqrt{y(1+x'(y)^2)}})

적당한 상수 a에 대하여 \frac{x'(y)}{\sqrt{y(1+x'(y)^2)}}=\frac{1}{\sqrt{2a}}라 두자.

이를 풀면 미분방정식  \frac{dx}{dy}=\sqrt{{\frac{y}{2a-y}} 를 얻는다.

(미분방정식의 여러 해에 대한 논의는 http://whistleralley.com/brachistochrone/brachistochrone.htm)

 x=\int_{0}^{y}\sqrt{\frac{y}{2a-y}}dy

y=2a\sin^2\frac{\theta}{2}=a(1-\cos\theta)로 치환하면, x=a(\theta-\sin\theta)를 얻는다.

여기서 상수 a는 주어진 점 (x_1,y_1)를 지날 수 있는 값으로 결정된다.

따라서 사이클로이드를 얻었다.■

 

 

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