최단시간강하곡선 문제(Brachistochrone problem)

곡선의 시작점을 (x_0,y_0)=(0,0) , 끝점을 (x_1,y_1) 라 두자.

곡선을 따라 내려올때 걸리는 시간은 다음과 같이 구할 수 있다.

$t=\int \frac{1}{v} \, ds$ (v는 속력, ds 는 길이요소, t는 시간)

에너지 보존 법칙 $mgy=\frac{1}{2}mv^2$ 에서 $v=\sqrt{2gy}$ .

이제 곡선의 x좌표를 y의 함수로 생각하자. 곡선을 따라 내려올 때 걸리는 시간은

$T=\int \frac{1}{v} \, ds=\frac{1}{\sqrt{2g}}\int_{0}^{y} \frac{\sqrt{1+x'(y)^2}}{\sqrt{y}} \, dy$

문제의 정의에 따라 이 적분값을 최소가 되게 하는 곡선을 찾아야 한다.

$F(y,x,x')=\frac{\sqrt{1+(x')^2}}{\sqrt{y}}$ 에 대하여 오일러-라그랑지 방정식 을 적용하면,

$0 =\frac{\partial F}{\partial x} - \frac{d}{dy} \frac{\partial F}{\partial x'}=-\frac{d}{dy}(\frac{x'(y)}{\sqrt{y(1+x'(y)^2)}})$

적당한 상수 a에 대하여 $\frac{x'(y)}{\sqrt{y(1+x'(y)^2)}}=\frac{1}{\sqrt{2a}}$ 라 두자.

이를 풀면 미분방정식 $\frac{dx}{dy}=\sqrt{{\frac{y}{2a-y}}$ 를 얻는다.

$x=\int_{0}^{y}\sqrt{\frac{y}{2a-y}}dy$

$y=2a\sin^2\frac{\theta}{2}=a(1-\cos\theta)$ 로 치환하면, $x=a(\theta-\sin\theta)$ 를 얻는다.

여기서 상수 a는 주어진 점 (x_1,y_1) 를 지날 수 있는 값으로 결정된다.

따라서 사이클로이드를 얻었다.■

Brachistochrone curve
- brachistos - the shortest, chronos - time
- 최단시간강하 곡선, 최속강하선, 최단강하선
단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
발음사전 http://www.forvo.com/search/
대한수학회 수학 학술 용어집
- http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
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