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    수학이 알고싶은 중고대딩들을 위한 수학 노트

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정칠각형

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개요

 

 

정칠각형 꼭지점의 평면좌표
  • 정칠각형이 단위원에 내접하고 있고, 한 점의 좌표가 (1,0) 으로 주어진 경우

  • 방정식 z^6 + z^5 + z^4 + z^3 + z^2 + z + 1 = 0

    은 다음과 같은 순서로 풀수 있음.

     

  • 양변을 z^3으로 나누면, z^3+z^2+z+1+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{z^3}=0 을 얻게됨.

y=z+\frac{1}{z} 로 치환하면, 원래의 방정식에서 다음 식을 얻을 수 있음.

z^3+z^2+z+1+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{z^3}=(z+\frac{1}{z})^3+(z+\frac{1}{z})^2-2(z+\frac{1}{z})-1=y^3+y^2-2y-1=0

방정식을 풀면,

y^3+y^2-2y-1=0 3차 방정식의 근의 공식

y_1= -\frac{1}{3}+\frac{7^{2/3}}{3 \left(\frac{1}{2} \left(1+3 i \sqrt{3}\right)\right)^{1/3}}+\frac{1}{3} \left(\frac{7}{2} \left(1+3 i \sqrt{3}\right)\right)^{1/3}\right\}(=2\cos\frac{2\pi}{7})

y_2=-\frac{1}{3}-\frac{\left(\frac{7}{2}\right)^{2/3} \left(1-i \sqrt{3}\right)}{3 \left(1+3 i \sqrt{3}\right)^{1/3}}-\frac{1}{6} \left(1+i \sqrt{3}\right) \left(\frac{7}{2} \left(1+3 i \sqrt{3}\right)\right)^{1/3}(=2\cos\frac{4\pi}{7})

y_3=-\frac{1}{3}-\frac{\left(\frac{7}{2}\right)^{2/3} \left(1+i \sqrt{3}\right)}{3 \left(1+3 i \sqrt{3}\right)^{1/3}}-\frac{1}{6} \left(1-i \sqrt{3}\right) \left(\frac{7}{2} \left(1+3 i \sqrt{3}\right)\right)^{1/3}\right\}(=2\cos\frac{6\pi}{7})

 

z^2-yz+1=0

z=\frac{y+\sqrt{y^2-4}}{2}

 

을 얻게 됨. 

  • 복소평면상에서 z 의 x 좌표는  로 주어짐.

 

 

 

정칠각형의 대각선의 길이

  • 한 변의 길이가 1인 정칠각형의 대각선의 길이는 다음과 같이 주어짐

    r_i=\frac{\sin \frac{(i+1)\pi}{7}}{\sin \frac{\pi}{7}}} , i=0,1,\cdots,5

    여기서 r_0=1, r_5=1

    heptagon.png

  • 제2종 체비셰프 다항식

  • 대각선이 만족시키는 다양한 항등식

    r_hr_k=r_{h-k}+r_{h-k+2}+\cdots+r_{h+k}, 0\leq k\leq h\leq 2

    r_i^2=1+r_{i-1}r_{i+1}, 1\leq i \leq 4

    r_0r_0=r_0

    r_1r_0=r_1

    r_1r_1=r_0+r_2

    r_2r_0=r_2

    r_2r_1=r_1+r_3

    r_2r_2=r_0+r_2+r_4

(증명)

r_1r_1=r_0+r_2

r_2r_1=r_1+r_3=r_1+r_2■

(증명)

r_1r_1=r_0+r_2

r_2r_2=r_0+r_2+r_4=r_0+r_2+r_1 ■

 

 

 

다이로그 항등식

  • 방정식 x^3+2x^2-x-1=0 의 해 \alpha, -\beta, -\gamma^{-1}

  • 방정식 x^3+x^2-2x-1=0의 해  a,b,c

a=2\cos\frac{2\pi}{7}=\alpha^{-1}=1.24698\cdots,  b=2\cos\frac{4\pi}{7}=-\gamma=-0.445042\cdots,c=2\cos\frac{6\pi}{7}=-\beta^{-1}=-1.80194\cdots

 

 

재미있는 사실

 

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