정칠각형

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개요

 

 

정칠각형 꼭지점의 평면좌표

y=z+\frac{1}{z} 로 치환하면, 원래의 방정식에서 다음 식을 얻을 수 있음.

z^3+z^2+z+1+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{z^3}=(z+\frac{1}{z})^3+(z+\frac{1}{z})^2-2(z+\frac{1}{z})-1=y^3+y^2-2y-1=0

방정식을 풀면,

y^3+y^2-2y-1=0 3차 방정식의 근의 공식

y_1= -\frac{1}{3}+\frac{7^{2/3}}{3 \left(\frac{1}{2} \left(1+3 i \sqrt{3}\right)\right)^{1/3}}+\frac{1}{3} \left(\frac{7}{2} \left(1+3 i \sqrt{3}\right)\right)^{1/3}\right\}(=2\cos\frac{2\pi}{7})

y_2=-\frac{1}{3}-\frac{\left(\frac{7}{2}\right)^{2/3} \left(1-i \sqrt{3}\right)}{3 \left(1+3 i \sqrt{3}\right)^{1/3}}-\frac{1}{6} \left(1+i \sqrt{3}\right) \left(\frac{7}{2} \left(1+3 i \sqrt{3}\right)\right)^{1/3}(=2\cos\frac{4\pi}{7})

y_3=-\frac{1}{3}-\frac{\left(\frac{7}{2}\right)^{2/3} \left(1+i \sqrt{3}\right)}{3 \left(1+3 i \sqrt{3}\right)^{1/3}}-\frac{1}{6} \left(1-i \sqrt{3}\right) \left(\frac{7}{2} \left(1+3 i \sqrt{3}\right)\right)^{1/3}\right\}(=2\cos\frac{6\pi}{7})

 

z^2-yz+1=0

z=\frac{y+\sqrt{y^2-4}}{2}

 

을 얻게 됨. 

 

 

 

정칠각형의 대각선의 길이

(증명)

r_1r_1=r_0+r_2

r_2r_1=r_1+r_3=r_1+r_2■

(증명)

r_1r_1=r_0+r_2

r_2r_2=r_0+r_2+r_4=r_0+r_2+r_1 ■

 

 

 

다이로그 항등식

a=2\cos\frac{2\pi}{7}=\alpha^{-1}=1.24698\cdots,  b=2\cos\frac{4\pi}{7}=-\gamma=-0.445042\cdots,c=2\cos\frac{6\pi}{7}=-\beta^{-1}=-1.80194\cdots

 

 

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