삼각함수의 적분

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개요

 

 

 

 

사인과 코사인의 거듭제곱

(증명)

 

\int\sin^n {x}\,dx = \int\sin^{n-2}{x} (1-\cos^2 x)\,dx=\int\sin^{n-2}{x}-\sin^{n-2}{x}\cos^2 x\,dx=\int\sin^{n-2}{x}-\int \sin^{n-2}{x}\cos^2 x\,dx

 

\int \sin^{n-2}{x}\cos^2 x\,dx=\int (\sin^{n-2}{x}\cos x)\cos x \,dx=\frac{1}{n-1}\sin^{n-1}x\cos x+\int \frac{1}{n-1}\sin^{n-1}x \sin x dx=\frac{1}{n-1}\sin^{n-1}x\cos x+\frac{1}{n-1}\int \sin^{n}x \,dx

여기서 치환적분 u=\cos x, dv=\sin^{n-2}x\cos x \dx

 

\int\sin^n {x}\,dx=\int\sin^{n-2}{x}-\int \sin^{n-2}{x}\cos^2 x\,dx=\int\sin^{n-2}{x}-\frac{1}{n-1}\sin^{n-1}x\cos x-\frac{1}{n-1}\int \sin^{n}x \,dx

\frac{n}{n-1}\int \sin^{n}x \,dx=\int\sin^{n-2}{x}-\frac{1}{n-1}\sin^{n-1}x\cos x

 

\int\sin^n {x}\;dx = -\frac{\sin^{n-1} x\cos x}{n} + \frac{n-1}{n}\int\sin^{n-2} x\;dx ■

 

 

 

탄젠트와 시컨트의 거듭제곱

 

\begin{align} \int \sec^3 x \, dx &{}= \int u\,dv \ &{}= uv - \int v\,du \ &{} = \sec x \tan x - \int \sec x \tan^2 x\,dx \ &{}= \sec x \tan x - \int \sec x\, (\sec^2 x - 1)\,dx \ &{}= \sec x \tan x - \left(\int \sec^3 x \, dx - \int \sec x\,dx.\right) \ &{}= \sec x \tan x - \int \sec^3 x \, dx + \int \sec x\,dx. \end{align}

 

 

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