스털링 수

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개요

s(n,k) 제1종 스털링 수

 

(x)_{k}=\sum_{j}s(k,j)x^{j}

 

S(n,k) 제2종 스털링 수

x^{k}=\sum_{j}S(k,j)(x)_j

 

 

제1종 스털링 수

(x)_3=x(x-1)(x-2)=2x-3x^2+x^3

s(3,0)=0, s(3,1)=2,s(3,2)=-3,s(3,3)=1

 

 

제2종 스털링 수

 

x^{n}=\sum_{j}S(n,j)(x)_j

예)

x^3 = (x)_1+3(x)_2+(x)_3=x+3x(x-1)+x(x-1)(x-2)

생성함수

\sum_{k}S(k,n)x^k=\frac{x^n}{(1-x)(1-2x)\cdots(1-nx)}

지수생성함수

\sum_{k}\frac{S(k,n)}{k!}x^k=\frac{(e^x-1)^{n}}{n!}

 

 

벨 수열 (Bell number)과의 관계

http://en.wikipedia.org/wiki/Bell_number

B(n)=\sum_{k}S(n,k)

\{1,2,\cdots,n\} 의 분할의 개수

\sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!} x^n = e^{e^x-1}.

 

 

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