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바이어슈트라스 시그마 함수

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개요
  • 바이어슈트라스의 타원함수 이론에 등장
  • 사인함수와 비슷한 역할을 함

  • 격자에 대해 정의되며, 무한곱으로 정의되는 복소함수

    \sigma(z;\Lambda)=z\prod_{w\in\Lambda^{*}} \left(1-\frac{z}{w}\right) e^{z/w+\frac{1}{2}(z/w)^2}

  • 격자 \Lambda의 불변량 g_2= 60\sum{}' \omega_{m,n}^{-4}, g_3=140\sum{}' \omega_{m,n}^{-6} 을 사용하여, \sigma(z;\Lambda)= \sigma \left(z;g_2,g_3\right) 로 쓰기도 함

 

 

로랑급수

  • z=0 부근에서 시그마함수는 다음과 같은 로랑급수 전개를 가진다

    \sigma \left(z;g_2,g_3\right)= z-\frac{g_2 z^5}{240}-\frac{g_3 z^7}{840}-\frac{g_2^2 z^9}{161280}-\frac{g_2g_3 z^{11}}{2217600}+

 

 

바이어슈트라스 타원함수 ℘ 와의 관계

 

 

 

세타함수로서의 시그마함수

\sigma(z+\omega_{i})=-e^{\eta_{i}(z+\omega_{i}/2)}\sigma(z) 

\sigma(z+2\omega_{i})=e^{\eta _i \left(2z+2\omega _i\right)} \sigma(z)

\sigma(z+3\omega_{i})=-e^{\eta_{i}(3z+9\omega_{i}/2)}\sigma(z)

\sigma(z+n\omega_{i})=(-1)^n e^{\eta_{i}(n z+n^2 \omega_{i}/2)}\sigma(z)

 

 

 

타원함수론

모든 정수 n에 대하여, 아래의 함수 f(z)는 타원함수이다

f(z)=\frac{\sigma(nz)}{\sigma(z)^{n^2}}

(증명)

f(z+\omega_{i})=f(z) 임을 보이자.

\sigma(z+\omega_{i})=-e^{\eta_{i}(z+\omega_{i}/2)}\sigma(z) 이므로, \sigma(z+\omega_{i})^{n^2}=(-1)^{n^2} e^{\eta_{i}(n^2 z+n^2 \omega_{i}/2)}\sigma(z)^{n^2}

\sigma(z+n\omega_{i})=(-1)^n e^{\eta_{i}(n z+n^2 \omega_{i}/2)}\sigma(z) 이므로 \sigma(n(z+\omega_{i}))=(-1)^n e^{\eta_{i}(n^2 z+n^2 \omega_{i}/2)}\sigma(n z).

f(z+\omega_{i}))=\frac{\sigma(n(z+\omega_{i}))}{\sigma(z+\omega_{i})^{n^2}}=\frac{\sigma(nz)}{\sigma(z)^{n^2}}=f(z). ■

 

 

역사

 

 

 

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관련논문
  • Hone, A. N. W. 2007. Sigma function solution of the initial value problem for Somos 5 sequences doi:0.1090/S0002-9947-07-04215-8
  • Hone, A. N. W. 2005. Elliptic Curves and Quadratic Recurrence Sequences. Bulletin of the London Mathematical Society 37, no. 2 (April 1): 161 -171. doi:10.1112/S0024609304004163.
  • Braden, Harry W, Victor Z Enolskii, and  Andrew N. W Hone. 2005. “Bilinear recurrences and addition formulae for hyperelliptic sigma functions”. math/0501162 (1월 11). http://arxiv.org/abs/math/0501162

 

 

관련도서

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