바이어슈트라스 시그마 함수

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바이어슈트라스 시그마 함수

개요

바이어슈트라스의 타원함수 이론에 등장
사인함수와 비슷한 역할을 함
격자에 대해 정의되며, 무한곱으로 정의되는 복소함수

$\sigma(z;\Lambda)=z\prod_{w\in\Lambda^{*}} \left(1-\frac{z}{w}\right) e^{z/w+\frac{1}{2}(z/w)^2}$
격자 $\Lambda$ 의 불변량 $g_2= 60\sum{}' \omega_{m,n}^{-4}$ , $g_3=140\sum{}' \omega_{m,n}^{-6}$ 을 사용하여, $\sigma(z;\Lambda)= \sigma \left(z;g_2,g_3\right)$ 로 쓰기도 함

로랑급수

z=0 부근에서 시그마함수는 다음과 같은 로랑급수 전개를 가진다

$\sigma \left(z;g_2,g_3\right)= z-\frac{g_2 z^5}{240}-\frac{g_3 z^7}{840}-\frac{g_2^2 z^9}{161280}-\frac{g_2g_3 z^{11}}{2217600}+$

바이어슈트라스 타원함수 ℘ 와의 관계

바이어슈트라스 타원함수 ℘

$\wp(u) = -\frac{d^2}{du^2} \ln \sigma (z)$
덧셈공식

$-\frac{\sigma(u+v)\sigma(u-v)}{\sigma(u)^2\sigma(v)^2}=\wp(u)-\wp(v)$

세타함수로서의 시그마함수

$\sigma(z+\omega_{i})=-e^{\eta_{i}(z+\omega_{i}/2)}\sigma(z)$

$\sigma(z+2\omega_{i})=e^{\eta _i \left(2z+2\omega _i\right)} \sigma(z)$

$\sigma(z+3\omega_{i})=-e^{\eta_{i}(3z+9\omega_{i}/2)}\sigma(z)$

$\sigma(z+n\omega_{i})=(-1)^n e^{\eta_{i}(n z+n^2 \omega_{i}/2)}\sigma(z)$

타원함수론

모든 정수 n에 대하여, 아래의 함수 f(z) 는 타원함수이다

$f(z)=\frac{\sigma(nz)}{\sigma(z)^{n^2}}$

(증명)

$f(z+\omega_{i})=f(z)$ 임을 보이자.

$\sigma(z+\omega_{i})=-e^{\eta_{i}(z+\omega_{i}/2)}\sigma(z)$ 이므로, $\sigma(z+\omega_{i})^{n^2}=(-1)^{n^2} e^{\eta_{i}(n^2 z+n^2 \omega_{i}/2)}\sigma(z)^{n^2}$

$\sigma(z+n\omega_{i})=(-1)^n e^{\eta_{i}(n z+n^2 \omega_{i}/2)}\sigma(z)$ 이므로 $\sigma(n(z+\omega_{i}))=(-1)^n e^{\eta_{i}(n^2 z+n^2 \omega_{i}/2)}\sigma(n z)$ .

$f(z+\omega_{i}))=\frac{\sigma(n(z+\omega_{i}))}{\sigma(z+\omega_{i})^{n^2}}=\frac{\sigma(nz)}{\sigma(z)^{n^2}}=f(z)$ . ■

역사

http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics
Earliest Uses of Various Mathematical Symbols
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http://en.wikipedia.org/wiki/Weierstrass_sigma_function
http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Weierstrass_elliptic_functions