방정식과 대칭성 : 치환군

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방정식과 대칭성

개요

군이란 어떤 불변성을 가진 대상에 대한 ‘변화’들의 모임을 말한다
- 군론에 대해서는 고교생도 이해할 수 있는 군론 입문 항목을 참조
군에 의하여 방정식의 해들은 그 내부에서 서로 바뀐지만 해가 만족시키는 방정식은 변하지 않는다.
이것이 바로 ‘변화속의불변’ – 대칭성이다.
$\text{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})=\{\operatorname{id}, \sigma}\}$ 의 경우 $\sigma$ 는 복소수체의 실수체 $\mathbb{R}$ 의 원소를 변화시키지 않음.
- $\sigma(i)=-i, \sigma(-i)=i$ 에서 방정식 의 해가 갈루아군의 원소에 의해서 서로 위치를 바꾸는 것을 볼 수 있음
갈루아 이론 은 5차방정식과 근의 공식 문제를 풀기 위해 방정식의 해가 가지는 대칭성에 대한 연구로부터 시작되었다
- 5차방정식의 근의 공식과 갈루아 이론

켤레복소수의 예

실계수 방정식 x^2+1=0 에 대하여 생각해보자. 이 방정식은 실수 내에서는 해를 가지지 않으며, 해를 얻기 위해서는 허수라는 것을 실수에 집어넣어 실수를 복소수로 확장하는 작업이 필요하다. (유식한 말을 약간 사용하자면, 복소수체 $\mathbb{C}$ 는 실수체 $\mathbb{R}$ 의 체확장이라 한다) 이 방정식은 복소수 내에서 두 개의 해 $\{i,-i\}$ 를 가진다.

이제 켤레복소수에 대해 생각해볼 차례이다. 복소수 $\alpha+\beta i$ ( $\alpha, \beta$ 는 실수) 에 대하여 복소수 $\alpha-\beta i$ 를 켤레복소수라 한다. $\alpha+\beta i$ 의 켤레복소수를 취하여 $\alpha-\beta i$ 를 얻는데, 여기서 또한번 켤레복소수를 취하면 다시 $\alpha+\beta i$ 를 얻게 된다. 복소수를 켤레복소수로 보내는 함수를 $\sigma(z)=\bar{z}$ 라고 표현한다면, $\sigma^2(z)=\bar{\bar{z}}=z$ 가 된다. 이를 간략하게 쓰자면 $\sigma^2=\operatorname{id}$ , 즉 켤레복소수를 취하는 것을 함수로 보아 자기자신과 합성을 하면 항등함수를 얻게 된다는 것이다.

여기서 원소 두 개짜리 군 $\{\operatorname{id}, \sigma}\}$ 을 얻는다. 이를 유식하게는 $\text{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})=\{\operatorname{id}, \sigma}\}$ 라고 하지만, 차차 알아가도록 하자.

지금 방정식 x^2+1=0 과 그 해집합 $\{i,-i\}$ 그리고 복소수를 복소수로 보내주는 두 함수, 항등함수와 켤레복소수 함수로 만들어진 군 $\{\operatorname{id}, \sigma}\}$ 가 있다.

켤레복소수에 의하면, $\sigma(i)=-i, \sigma(-i)=i$ 에서 방정식 x^2+1=0 의 해가 서로 위치를 바꾸는 것을 볼 수 있다.

군에 의하여 방정식의 해들은 그 내부에서 서로 바뀐다. 그러나 그 둘이 만족시키는 방정식 x^2+1=0 은 변하지 않는다. 이것이 바로 ‘변화속의불변’ – 대칭성이다. 한 방정식의 모든 해는 서로 변해도, 그들은 모두 여전히 같은 방정식을 만족시킨다.

일반화

(정리)

체 에 대하여, $a_n , a_{n-1} , \cdots, a_0 \in F$ 라 하자.

$\alpha \in \bar{F}$ 가 기약방정식 $a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0$ 의 해이면, 방정식의 해 $\alpha = \alpha_1,\cdots.\alpha_n$ 를 모두 추가하여 만든 체확장 $K=F(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)$ 의 갈루아군 $\text{Gal}(K/F)$ 의 원소 $\sigma$ 에 대하여 $\sigma(\alpha)$ 도 같은 방정식의 해가 된다.

(증명)

$\alpha$ 는 방정식 $a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0$ 의 해이므로, $a_n {\alpha}^n + a_{n-1} {\alpha}^{n-1} + a_{n-2} {\alpha}^{n-2} + \cdots + a_1 {\alpha} + a_0 = 0$ .

$\sigma\in\text{Gal}(K/F)$ 에 대하여 $\sigma(a_n {\alpha}^n + a_{n-1} {\alpha}^{n-1} + a_{n-2} {\alpha}^{n-2} + \cdots + a_1 {\alpha} + a_0)= \sigma(0)=0$ 이다.

그런데 $\sigma\in\text{Gal}(K/F)$ 는 사칙연산을 보존하며 체 의 원소들을 변화시키지 않으므로, $\sigma(a_n {\alpha}^n + a_{n-1} {\alpha}^{n-1} + a_{n-2} {\alpha}^{n-2} + \cdots + a_1 {\alpha} + a_0)=a_n \sigma(\alpha)^n + a_{n-1} \sigma(\alpha)^{n-1} + a_{n-2} \sigma(\alpha)^{n-2} + \cdots + a_1 \sigma(\alpha) + a_0 = 0$

을 만족시킨다.

따라서 $\sigma(\alpha)$ 도 방정식 $a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0$ 의 해가 된다. ■

예

방정식의 해를 요리조리 결합시키는 과정을 체계적으로 생각하는데서, 바로 군론의 아이디어가 싹트게 된다. 오늘은 그에 대한 이야기이다.

z^4+z^3+z^2+z^1+1=0 의 네 해는 다음과 같다는 것을 지난 번에 보였다.

$\alpha_1=\frac{1}{4} \left(-1+\sqrt{5}+i \sqrt{10+2\sqrt{5}}\right)=\zeta$

$\alpha_2=\frac{1}{4} \left(-1-\sqrt{5}+i \sqrt{10-2 \sqrt{5}}\right)=\zeta^2$

$\alpha_3=\frac{1}{4} \left(-1-\sqrt{5}-i \sqrt{10-2 \sqrt{5}}\right)=\zeta^3$

$\alpha_4=\frac{1}{4} \left(-1+\sqrt{5}-i \sqrt{10+2\sqrt{5}}\right)=\zeta^4$

여기서 $\zeta=e^{2\pi i \over 5}=\cos\frac{2\pi}{5}+i\sin\frac{2\pi}{5}$ .

이제 치환이라는 말을 정의하자. 치환이란 우리의 경우에는 네 개의 원소로 구성된 집합 $\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\}$ 에 정의되는 전단사함수를 말한다. $\alpha_1$ 을 $\alpha_3$ 으로 보내고, $\alpha_3$ 을 $\alpha_1$ 로 보내고, $\alpha_2$ 와 $\alpha_4$ 는 그대로 두는 치환을 간단히 다음과 같이 쓰자.

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 1 & 4\end{pmatrix}$

방정식의 해의 치환군은 해의 위치를 서로 바꿔주는 치환 중에서, 해들이 만족시키는 방정식의 대수적관계 (더 정확히는 유리계수다항식) 를 보존하는 것들로 정의된다.

가령 위의 네 해는 $\alpha_1\alpha_4=\alpha_2\alpha_3=1$ , $\alpha_1^2\alpha_3=1$ 와 같은 대수적관계들을 만족시킨다. 그러면 치환군의 원소는 어떤 것들이 있을지 생각해볼 수 있겠다.

$\tau=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 3 & 4\end{pmatrix}$ 는 치환군의 원소가 될 수 없는데, $\alpha_1\alpha_4=1$ 임에 반하여, $\tau(\alpha_1)\tau(\alpha_4)=\alpha_2\alpha_4\neq 1$ 이기 때문이다.( $\alpha_i=\zeta^i$ 임을 기억하자)

$\alpha_1\alpha_4=\alpha_2\alpha_3=1$ 라는 조건으로부터, $\{1,4\}$ 와 $\{2,3\}$ 이 쌍으로 움직여야 한다는 것을 알 수 있다. 따라서 다음과 같은 치환들만이 치환군의 원소 후보가 될 수 있다.

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4\end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 2 & 4\end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 4 & 3\end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 1 & 3\end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 4 & 2\end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 & 2\end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 2 & 3 & 1\end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1\end{pmatrix}$

그러나 여기서 $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 2 & 4\end{pmatrix}$ 와 같은 경우는 치환군의 원소가 될 수 없는데, $\alpha_1^2\alpha_3=1$ 임에 반하여, $\tau(\alpha_1)^2\tau(\alpha_3)=\alpha_1^2\alpha_2\neq 1$ 이기 때문이다.( $\alpha_i=\zeta^i$ 이므로)

결국엔 다음의 네 가지 치환만이 치환군의 원소가 될 수 있게 된다.

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4\end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 1 & 3\end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 4 & 2\end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 1 & 3\end{pmatrix}$ 는 함수이므로, 이 녀석의 제곱이란 함수의 합성으로 이해할 수 있다.

$\sigma=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 1 & 3\end{pmatrix}$ 로 두면, $\sigma^2= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1\end{pmatrix}$ , $\sigma^3=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 4 & 2\end{pmatrix}$ , $\sigma^4=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4\end{pmatrix}$ 가 되어, 모든 원소가 $\sigma$ 로부터 얻어지게 된다.

즉 친숙한 군 {차렷, 좌향좌, 우향우, 뒤로돌아}와 비교하자면, $\sigma$ 는 좌향좌 또는 우향우와 같은 역할을 방정식의 해에 대하여 하고 있다. 크기가 4인 순환군이 된다.

예

x^4 - 10x^2 + 1=0 의 네 해는 다음과 같이 주어진다.

$\alpha_1 = \sqrt{2} + \sqrt{3}$

$\alpha_2 = \sqrt{2} - \sqrt{3}$

$\alpha_3 = -\sqrt{2} + \sqrt{3}$

$\alpha_4= -\sqrt{2} - \sqrt{3}$

이 경우엔 다음의 네 가지 치환만이 치환군의 원소가 될 수 있게 된다.

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4\end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 4 & 3\end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 & 2\end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1\end{pmatrix}$