원주율과 적분

원의 넓이? (Ens, New Start, 2011-4-11) 에 대한 코멘트
원주율은 대수적함수와 미적분학을 사용하여 삼각함수의 이론 없이도 정의할 수 있다 (periods)
가정들
- 초등학교에서 배운 원주율의 기하학적 정의는 잊자. (곡선의 길이 개념은 미적분학을 통해 정의된다)
- 삼각함수에 대해 알고 있는 모든 사실을 잊기로 하자.
- 대수적함수에 대한 미적분학의 기술은 안다고 가정하자.
  - 다항식의 미분, $\sqrt{x}$ 의 미분, 합성함수의 미분, 미적분학의 기본정리 등

원주율을 적분을 통해 표현해보자.

단위원 C의 둘레의 길이를 적분으로 표현하기 위해 원의 방정식 x^2+y^2=1 을 이용하자. $y=\sqrt{1-x^2}$ 를 이용하면, C의 둘레의 길이의 절반은

$\frac{1}{2}\int _cds=$ 로 표현된다.

원주율은 $\pi =2\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$ 로 정의된다.

단위원의 면적은 $4\int_0^1 \sqrt{1-x^2} \, dx$ 으로 쓸 수 있다. 이 값은 정말로 $\pi$ 가 될까? 이를 삼각함수 없이 증명할 수 있을까?

$4\int_0^1 \sqrt{1-x^2} \, dx=$ 를 보이면 된다.

(증명)

$\frac{d}{dx} \left(x \sqrt{1-x^2}\right) = \sqrt{1-x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} = 2 \sqrt{1-x^2}-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$\int_0^1 \left(2 \sqrt{1-x^2}-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) \, dx=$

$4\int_0^1 \sqrt{1-x^2} \, dx=$

따라서 단위원의 면적은 $4\int_0^1 \sqrt{1-x^2} \, dx=$ 가 된다. ■

대수적 함수와 아벨적분
사인/아크사인함수 덧셈정리의 적분표현

$\int_0^x{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}dx+\int_0^y{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}dx = \int_0^{x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}}{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}dx$