리만 곡률 텐서

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리만 곡률 텐서

개요

접속 (connection) $\nabla$ 이 정의되어 있다고 하자
세 개의 벡터장 X,Y,Z 가 주어지면, 새로운 벡터장 R(X,Y)Z 를 얻는다

$R(X,Y)Z=\nabla_X\nabla_YZ-\nabla_Y\nabla_XZ-\nabla_{[X,Y]}Z$
covariant tensor

리만 곡률 텐서의 성분

${R^\rho}_{\sigma\mu\nu} = dx^\rho(R(\partial_{\mu},\partial_{\nu})\partial_{\sigma})$
크리스토펠 기호 를 이용한 성분의 계산

${R^\rho}_{\sigma\mu\nu} = \partial_\mu\Gamma^\rho_{\nu\sigma} - \partial_\nu\Gamma^\rho_{\mu\sigma} + \Gamma^\rho_{\mu\lambda}\Gamma^\lambda_{\nu\sigma} - \Gamma^\rho_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda_{\mu\sigma}$

${R^l}_{kij} = \partial_i\Gamma^l_{jk} - \partial_j\Gamma^l_{ik} + \Gamma^l_{is}\Gamma^s_{jk} - \Gamma^l_{js}\Gamma^s_{ik}$

$R_{\rho\sigma\mu\nu} = g_{\rho \zeta} {R^\zeta}_{\sigma\mu\nu} .$

곡률 2형식

$R(X,Y)\partial_{j}=\Omega_{j}^{s}(X,Y)\partial_s$

$\,\Omega=d\omega +\omega\wedge \omega$

$\Omega^i_{j}=d\omega^i_{j} +\sum_k \omega^i_{k}\wedge\omega^k_{j}$

곡면의 경우

제1기본형식이 로 주어진 경우, 리만 곡률 텐서는 다음과 같다 (이외의 $R_{jkl}^i$ 는 0이다)

$R_{212}^1 = \frac{e(u,v) \left(e^{(0,1)}(u,v) g^{(0,1)}(u,v)+g^{(1,0)}(u,v)^2\right)+g(u,v) \left(e^{(1,0)}(u,v) g^{(1,0)}(u,v)-2 e(u,v) \left(e^{(0,2)}(u,v)+g^{(2,0)}(u,v)\right)+e^{(0,1)}(u,v)^2\right)}{4 e(u,v)^2 g(u,v)}$

$R_{112}^2 = -\frac{e(u,v) \left(e^{(0,1)}(u,v) g^{(0,1)}(u,v)+g^{(1,0)}(u,v)^2\right)+g(u,v) \left(e^{(1,0)}(u,v) g^{(1,0)}(u,v)-2 e(u,v) \left(e^{(0,2)}(u,v)+g^{(2,0)}(u,v)\right)+e^{(0,1)}(u,v)^2\right)}{4 e(u,v) g(u,v)^2}$

$R_{221}^1 = -\frac{e(u,v) \left(e^{(0,1)}(u,v) g^{(0,1)}(u,v)+g^{(1,0)}(u,v)^2\right)+g(u,v) \left(e^{(1,0)}(u,v) g^{(1,0)}(u,v)-2 e(u,v) \left(e^{(0,2)}(u,v)+g^{(2,0)}(u,v)\right)+e^{(0,1)}(u,v)^2\right)}{4 e(u,v)^2 g(u,v)}$

$R_{121}^2 = \frac{e(u,v) \left(e^{(0,1)}(u,v) g^{(0,1)}(u,v)+g^{(1,0)}(u,v)^2\right)+g(u,v) \left(e^{(1,0)}(u,v) g^{(1,0)}(u,v)-2 e(u,v) \left(e^{(0,2)}(u,v)+g^{(2,0)}(u,v)\right)+e^{(0,1)}(u,v)^2\right)}{4 e(u,v) g(u,v)^2}$

역사

http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
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대한수학회 수학 학술 용어집
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사전 형태의 자료

http://ko.wikipedia.org/wiki/
http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_curvature_tensor
The Online Encyclopaedia of Mathematics

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http://www.ams.org/mathscinet
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