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파피안(Pfaffian)

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이 항목의 수학노트 원문주소

 

 

개요
  • 교대행렬(alternating matrix, 또는 skew-symmetric matrix)의 행렬식은 어떤 다항식의 제곱이 되는 성질을 가진다
  • 교대행렬에 대해, 이 행렬식의 제곱근의 하나를 파피안으로 정의한다.
  • \operatorname{pf(A)}^2=\operatorname{det(A)}
  • \operatorname{pf}(BAB^T)= \det(B)\operatorname{pf}(A)

 

 

 

교대행렬과 행렬식

  • 2×2 교대행렬

    \left( \begin{array}{cc} 0 & t_{1,2} \ -t_{1,2} & 0 \end{array} \right) 의 행렬식 t_{1,2}^2

  • 4×4 교대행렬

    \left( \begin{array}{cccc} 0 & t_{1,2} & t_{1,3} & t_{1,4} \ -t_{1,2} & 0 & t_{2,3} & t_{2,4} \ -t_{1,3} & -t_{2,3} & 0 & t_{3,4} \ -t_{1,4} & -t_{2,4} & -t_{3,4} & 0 \end{array} \right), 행렬식 \left(t_{1,4} t_{2,3}-t_{1,3} t_{2,4}+t_{1,2} t_{3,4}\right){}^2

  • 6×6 교대행렬

    \left( \begin{array}{cccccc} 0 & t_{1,2} & t_{1,3} & t_{1,4} & t_{1,5} & t_{1,6} \ -t_{1,2} & 0 & t_{2,3} & t_{2,4} & t_{2,5} & t_{2,6} \ -t_{1,3} & -t_{2,3} & 0 & t_{3,4} & t_{3,5} & t_{3,6} \ -t_{1,4} & -t_{2,4} & -t_{3,4} & 0 & t_{4,5} & t_{4,6} \ -t_{1,5} & -t_{2,5} & -t_{3,5} & -t_{4,5} & 0 & t_{5,6} \ -t_{1,6} & -t_{2,6} & -t_{3,6} & -t_{4,6} & -t_{5,6} & 0 \end{array} \right),

    행렬식 \left(t_{1,6} t_{2,5} t_{3,4}-t_{1,5} t_{2,6} t_{3,4}-t_{1,6} t_{2,4} t_{3,5}+t_{1,4} t_{2,6} t_{3,5}+t_{1,5} t_{2,4} t_{3,6}-t_{1,4} t_{2,5} t_{3,6}+t_{1,6} t_{2,3} t_{4,5}-t_{1,3} t_{2,6} t_{4,5}+t_{1,2} t_{3,6} t_{4,5}-t_{1,5} t_{2,3} t_{4,6}+t_{1,3} t_{2,5} t_{4,6}-t_{1,2} t_{3,5} t_{4,6}+t_{1,4} t_{2,3} t_{5,6}-t_{1,3} t_{2,4} t_{5,6}+t_{1,2} t_{3,4} t_{5,6}\right){}^2

 

 

파피안

  • A=(t_{i,j}) 로 주어진 교대행렬에 대하여 파피안을 다음과 같이 정의함

    \operatorname{pf}(A) = \frac{1}{2^n n!}\sum_{\sigma\in S_{2n}}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^{n}t_{\sigma(2i-1),\sigma(2i)}

  • n=1인 경우

    t_{1,2}

  • n=2인 경우

    t_{1,4} t_{2,3}-t_{1,3} t_{2,4}+t_{1,2} t_{3,4}

  • n=3 인 경우

    t_{1,6} t_{2,5} t_{3,4}-t_{1,5} t_{2,6} t_{3,4}-t_{1,6} t_{2,4} t_{3,5}+t_{1,4} t_{2,6} t_{3,5}+t_{1,5} t_{2,4} t_{3,6}-t_{1,4} t_{2,5} t_{3,6}+t_{1,6} t_{2,3} t_{4,5}-t_{1,3} t_{2,6} t_{4,5}+t_{1,2} t_{3,6} t_{4,5}-t_{1,5} t_{2,3} t_{4,6}+t_{1,3} t_{2,5} t_{4,6}-t_{1,2} t_{3,5} t_{4,6}+t_{1,4} t_{2,3} t_{5,6}-t_{1,3} t_{2,4} t_{5,6}+t_{1,2} t_{3,4} t_{5,6}

 

 

역사

 

 

 

메모

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

 

 

 

관련된 항목들
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수학용어번역

 

 

 

사전 형태의 자료

 

 

관련논문

  • Wu, F. Y. 2006. “Pfaffian solution of a dimer-monomer problem: Single monomer on the boundary.” Physical Review E 74 (2): 020104. doi:10.1103/PhysRevE.74.020104.

  • http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
  • http://www.ams.org/mathscinet
  • http://dx.doi.org/

 

 

관련도서

  • Barry M McCoy, Advanced Statistical Mechanics

    • The Pfaffian solution of the Ising model DOI:10.1093/acprof:oso/9780199556632.003.0011

  • 도서내검색

    • http://books.google.com/books?q=
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