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    수학이 알고싶은 중고대딩들을 위한 수학 노트

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유한아벨군과 이산푸리에변환

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이 항목의 수학노트 원문주소

 

 

개요
  • G=(\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}와 준동형사상 f \colon (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*} \to \mathbb C^{*}의 경우

\hat f(a) := \sum_{t \in (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}} f(t) e^{2 \pi i a t/N}=\sum_{t \in (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}} f(t) \zeta^{a t}

여기서  \zeta = e^{2\pi i/N}

 

 

가우스합에의 응용
  • a\in (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}와 곱셈에 대한 준동형사상 \chi \colon (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*} \to \mathbb C^{*}에 대하여 가우스합을 다음과 같이 정의함

g_a(\chi) := \sum_{t \in (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}} \chi(t) e^{2 \pi i a t/N}=\sum_{t \in (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}} \chi(t) \zeta^{a t}

여기서  \zeta = e^{2\pi i/N}

  • 성질

    g_a(\chi) = \chi(a^{-1}) g_1(\chi)=\bar\chi(a)g_1(\chi)

    \chi(n)=\frac{1}{N}\sum_{(a,N)=1}g_a(\chi)e^{-2\pi i n a/N}

 

 

이차잉여 캐릭터와 푸리에 변환

K = \mathbb{Q}(\sqrt{-d})

Jacobi symbol

f(n)=(\frac{d_K}{n})

Fourier transform

\hat{f}(n)=\sum_{k\pmod {d_K}} (\frac{d_K}{k})e^{2\pi i kn/|d_K|}

f(n)=\hat{f}(n)/\hat{f}(1)

 

 

재미있는 사실

 

  • Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
  • 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=

 

 

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