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    수학이 알고싶은 중고대딩들을 위한 수학 노트

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미디의 정리(Midy's theorem)

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이 항목의 수학노트 원문주소

 

 

개요

  • '142857의 신비'에서처럼 142857과 같은 수를 적당한 자리마다 쪼개어 더했을때 9가 많이 나타나는 현상에 대한 일반적인 이해

    • 1+8=4+5=2+7=9
    • 142 + 857=999
    • 428 + 571=999
    • 285 + 714=999
    • 857 + 142=999
    • 571 + 248=999
    • 712 + 485=999
    • 14+28+57=99
    • 42+85+71=198=2*99
  • 여기서 142857과 같은 수란 cyclic numbers 를 의미한다
  • 대부분의 성질은 순환군 을 통하여 이해할 수 있다

  • 더 구체적으로는 Z_p^{x} 에서 10^k 꼴의 원소로 생성되는 부분군과 그 coset 의 원소들의 합을 구하는 문제로 이해할 수 있다

 

 

순환마디의 길이가 2의 배수일때

  • 소수 p에 대하여, 분수 a/p  (1\leq a \leq p-1) 를 십진법 전개할 때 얻어지는 순환마디의 길이가 2n 이고, 순환마디가 a_1a_2\cdots a_{n} a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n} 라 하자.

    1\leq i \leq n 에 대하여, a_{i} + a_{i+n}=9 이 성립한다.

    또한 a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n} = 99\cdots 99(n개의 9) 가 성립한다.

 

(증명)

분수 a/p  (1\leq a \leq p-1) 를 생각하자.

g_k \equiv a10^k \pmod p 를 만족시키는 1\leq g_k \leq p-1 를 정의하자. g_0=a 이다.

분수 a/p의 순환마디의 길이가 2n이면, 10^n \equiv -1 \pmod p 가 성립하므로, g_n=p-a 임을 안다.

a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n}=\frac{g_0 10^n-g_n}{p} + \frac{g_{n} 10^n-g_0}{p}=\frac{(g_0+g_n)(10^n-1)}{p}=10^n-1 ■

 

 

예 : 1176470588235294
  • p=17
  • 2/17 = 0.11764705882352941176470588235294...
  • 11764705 + 88235294 = 99999999

 

 

순환마디의 길이가 3의 배수일 때

  • 소수 p에 대하여, 분수 1/p 를 십진법 전개할 때 얻어지는 순환마디의 길이가 3n 이고, 순환마디가 a_1a_2\cdots a_{n} a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n}a_{2n+1}a_{2n+2}\cdots a_{3n} 라 하자.

    a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n} +a_{2n+1}a_{2n+2}\cdots a_{3n}= 99\cdots 99 가 성립한다

 

(증명)

순환마디의 길이가 3n인 분수 1/p 를 생각하자.

g_k \equiv 10^k \pmod p, 0\leq g_k \leq p-1 라 정의하자. g_0=1 이다.

g_{2n} \equiv g_n^2 \pmod p, g_n^3 \equiv 1 \pmod p  이므로, g_0+g_n+g_{2n}\equiv 1+g_n+g_n^2=(g_n^3-1)/(g_n-1)\equiv 0 \pmod p 이다.

따라서 g_0+g_n+g_{2n}=p 또는 g_0+g_n+g_{2n}=2p가 성립한다.

그러나 1\leq g_k \leq p-1 이므로 1+g_n+g_{2n}=2p일 수 없다. 따라서 g_0+g_n+g_{2n}=p

a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n} +a_{2n+1}a_{2n+2}\cdots a_{3n}=\frac{g_0 10^n-g_n}{p} + \frac{g_{n} 10^n-g_{2n}}{p}+\frac{g_{2n} 10^n-g_{0}}{p}=\frac{(g_0+g_n+g_{2n})(10^n-1)}{p}=10^n-1 ■

  • 일반적으로 소수 p에 대하여, 분수 1/p 를 십진법 전개할 때 얻어지는 순환마디의 길이가 3n 이라고 하자.

    분수 a/p  (1\leq a \leq p-1) 또는 (p-a)/p  (1\leq a \leq p-1) 의 순환소수전개를 생각하자.

    둘 중의 하나는 a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n} +a_{2n+1}a_{2n+2}\cdots a_{3n}= 99\cdots 99

    다른 하나는, a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n} +a_{2n+1}a_{2n+2}\cdots a_{3n}=2* 99\cdots 99 를 만족한다

 

 

예 : 052631578947368421

  • p=19

    • 1/19=0.052631578947368421052...

    • 52631+578947+368421=999999

  • p=7

    • 3/7 = 0.4285714286...

    • 42+ 85+71=198

    • 4/7 = 0.5714285714

    • 57+14+28=99

 

 

역사
  • 1836년 미디
  • http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
  • 수학사연표

 

 

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리뷰논문과 에세이

 

 

 

관련논문
  • M. Shrader-Frechette, Complementary Rational Numbers, Math. Mag., 51 (1978) 90–98.
  • E. Midy, De quelques proprietes des nombres et des fractions decimals periodiques, Nantes, (1836), 21 pages.
  • http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
  • http://www.ams.org/mathscinet
  • http://dx.doi.org/

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Last edited on 04/23/2012 01:34 by 피타고라스

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