양자 다이로그 함수(quantum dilogarithm)

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양자 다이로그 함수(quantum dilogarithm)

개요

다이로그 함수(dilogarithm) 의 q-analogue

$\Psi(z)=(z;q)_{\infty}=\prod_{n=0}^{\infty}(1-zq^n)=\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^nq^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n=\exp(\frac{\operatorname{Li}_{2,q}(z)}{q-1})$
q-초기하급수(q-hypergeometric series)와 양자미적분학(q-calculus) 에서 오일러의 공식

$\prod_{n=0}^{\infty}(1+zq^n)=1+\sum_{n\geq 1}\frac{q^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n$

바일 대수(Weyl algebra)

양자 바일 대수와 양자평면 참조
$\mathbb{C}[q,q^{-1}]$ 위에서 u,v 로 생성되는 대수, 를 만족시킴
- q-이항계수 (가우스 다항식) 에서 양자평면이라는 이름으로 사용됨
성질

$(u;q)_{\infty}(v;q)_{\infty}=(u+v;q)_{\infty}$

$(v;q)_{\infty}(u;q)_{\infty}=(u+v-vu;q)_{\infty}$

$(v;q)_{\infty}(u;q)_{\infty}=(u;q)_{\infty}(-vu;q)_{\infty}(v;q)_{\infty}$
양자 5항 관계식 (5-term relation)

$(v;q)_{\infty}(u;q)_{\infty}=(u;q)_{\infty}(-vu;q)_{\infty}(v;q)_{\infty}$

q-integral (Jackson integral)

q-적분 참조

에 대하여 다음과 같이 정의

$\int_0^a f(x) d_q x = a(1-q)\sum_{k=0}^{\infty}q^k f(aq^k )$

$\int_0^{\infty} f(x) d_q x =(1-q)\sum_{k=-\infty}^{\infty}q^k f(aq^k )$
$q\to 1$ 이면, $\int_0^a f(x) d_q x \to \int_0^a f(x) dx$

양자 다이로그 함수(quantum dilogarithm)

$\operatorname{Li}_{2,q}(z) = -\int_0^z{{\ln (1-t)}\over t} d_{q}t$

$\operatorname{Li}_2(z) = -\int_0^z{{\ln (1-t)}\over t} dt$

$\Psi(z)=(z;q)_{\infty}=\prod_{n=0}^{\infty}(1-zq^n)=\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^nq^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n=\exp(\frac{\operatorname{Li}_{2,q}(z)}{q-1})$

$q\to 1$ 일 때의 근사식

$q=e^{-t}$ 이고 t가 0으로 갈 때,
$\Psi(x)=(x,e^{-t})_{\infty}\approx(\sqrt{1-x})\exp(-\frac{\operatorname{Li}_{2}(x)}{t})$

q가 root of unity 일 때의 근사식

[BR1995] section 3

역사

http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
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단어사전
- http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
- http://ko.wiktionary.org/wiki/
발음사전 http://www.forvo.com/search/
대한수학회 수학 학술 용어집
- http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
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