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    수학이 알고싶은 중고대딩들을 위한 수학 노트

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표본평균과 표본분산

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이 항목의 수학노트 원문주소

 

 

개요

 

 

유한모집단, 비복원추출의 경우

크기가 N인 유한모집단의 모평균이 \mu, 모분산이 \sigma^2 이라고 가정하자.

여론조사는, 모집단의 \mu와 \sigma^2를 알지 못하는 상태에서, 하나의 표본을 통하여 이를 추정하는 문제에 해당한다. 

크기가 n인 표본 y_1,\cdots,y_n 을 모집단에서 추출했다고 하면, 이로부터 표본평균 \bar{y}과 표본분산 s^2을 다음과 같이 얻는다.

\bar{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_{i}

s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(y_{i}-\bar{y})^2

 

\bar{y}와 s^2 는 모두 새로운 확률변수로 이해할 수 있으며, 이 확률변수의 평균과 분산을 모평균 \mu, 모분산 \sigma^2를 통하여 표현할 수 있다.

 

확률변수 \bar{y}의 경우

E(\bar{y})=\mu, V(\bar{y})=\frac{\sigma^2}{n}(\frac{N-n}{N-1})

 

확률변수 s^2의 경우

E(s^2)=\frac{N}{N-1}\sigma^2

 

모평균과 모분산의 추정

  • 평균이 \mu인 모집단에서 n 개의 표본 y_1,\cdots,y_n 을 추출할 때 표본평균 \bar{y}는 \mu의 불편추정량이다. 즉

    E(\bar{y})=\mu 이 성립한다.

  • 평균이 \mu, 분산  \sigma^2 인 크기가 N인 모집단에서 n개의 표본  y_1,\cdots,y_n을 추출할 때 표본분산  s^2은  \frac{N}{N-1}\sigma^2의 불편추정량이다. 즉

    E(s^2)=\frac{N}{N-1}\sigma^2 이 성립한다.

  • 모평균 \mu은 표본평균 \bar{y} 로 추정할 수 있다
  • 표본평균의 분산 V(\bar{y})은 표본분산 s^2를 이용하여  \frac{s^2}{n}(\frac{N-n}{N}) 로 추정할 수 있다

 

 

 

예
  • 모집단이

 

 

 

표본평균

 

 

 

표본분산

 

 

 

역사

 

 

 

메모
  •  
  • Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=

 

 

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