표본평균과 표본분산

크기가 N인 유한모집단의 모평균이 $\mu$ , 모분산이 $\sigma^2$ 이라고 가정하자.

여론조사는, 모집단의 $\mu$ 와 $\sigma^2$ 를 알지 못하는 상태에서, 하나의 표본을 통하여 이를 추정하는 문제에 해당한다.

크기가 n인 표본 $y_1,\cdots,y_n$ 을 모집단에서 추출했다고 하면, 이로부터 표본평균 $\bar{y}$ 과 표본분산 s^2 을 다음과 같이 얻는다.

$\bar{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_{i}$

$s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(y_{i}-\bar{y})^2$

$\bar{y}$ 와 s^2 는 모두 새로운 확률변수로 이해할 수 있으며, 이 확률변수의 평균과 분산을 모평균 $\mu$ , 모분산 $\sigma^2$ 를 통하여 표현할 수 있다.

확률변수 $\bar{y}$ 의 경우

$E(\bar{y})=\mu$ , $V(\bar{y})=\frac{\sigma^2}{n}(\frac{N-n}{N-1})$

확률변수 s^2 의 경우

$E(s^2)=\frac{N}{N-1}\sigma^2$

모평균과 모분산의 추정

평균이 $\mu$ 인 모집단에서 n 개의 표본 $y_1,\cdots,y_n$ 을 추출할 때 표본평균 $\bar{y}$ 는 $\mu$ 의 불편추정량이다. 즉

$E(\bar{y})=\mu$ 이 성립한다.
평균이 $\mu$ , 분산 $\sigma^2$ 인 크기가 N인 모집단에서 n개의 표본 $y_1,\cdots,y_n$ 을 추출할 때 표본분산 은 $\frac{N}{N-1}\sigma^2$ 의 불편추정량이다. 즉

$E(s^2)=\frac{N}{N-1}\sigma^2$ 이 성립한다.
모평균 $\mu$ 은 표본평균 $\bar{y}$ 로 추정할 수 있다
표본평균의 분산 $V(\bar{y})$ 은 표본분산 를 이용하여 $\frac{s^2}{n}(\frac{N-n}{N})$ 로 추정할 수 있다

n-1로 나누기 vs n으로 나누기
n-1 로 나누는 경우, 비편향분산이라고 불리기도 하며, 모집단의 분산에 대한 불편추정량이 되는 좋은 성질을 갖는다.
http://en.wikipedia.org/wiki/Variance#Population_variance_and_sample_variance
http://en.wikipedia.org/wiki/Bessel%27s_correction
Bessel's correction yields an unbiased estimator of the population variance
http://www.minitab.com/support/documentation/answers/Why%20is%20S2%20the%20unbiased%20estimator.pdf
편향분산

한국통계학회 통계학 용어 온라인 대조표
- population 모집단
- sampling without replacement 비복원표집, 비복원추출