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베일리 쌍(Bailey pair)과 베일리 보조정리

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베일리 쌍(Bailey pair)

개요

q-series 항등식을 증명하는 중요한 테크닉

베일리 쌍(Bailey pair)

다음을 만족시키는 두 수열 $\{\alpha_r\}, \{\beta_r\}$ 을 a에 대한 베일리 쌍이라 부른다

$\beta_L=\sum_{r=0}^{L}\frac{\alpha_r}{(q)_{L-r}(aq)_{L+r}}$
켤레 베일리 쌍 $\{\delta_r\}, \{\gamma_r\}$

$\gamma_L=\sum_{r=L}^{\infty}\frac{\delta_r}{(q)_{r-L}(aq)_{r+L}}=\sum_{r=0}^{\infty}\frac{\delta_{r+L}}{(q)_{r}(aq)_{r+2L}}$
베일리 쌍을 얻기 위해 합공식의 q-analogue 들의 특별한 경우들을 많이 이용함

왜 베일리 쌍을 공부하나?

베일리 쌍을 이용하여 로저스-라마누잔 항등식 과 같은 q-series 항등식을 증명할 수 있음
- 베일리 보조정리를 이용하는 경우
- 베일리 쌍의 정의로부터
  
  $\beta_L=\sum_{r=0}^{L}\frac{\alpha_r}{(q)_{L-r}(aq)_{L+r}}$

베일리 쌍과 켤레 베일리 쌍의 예

베일리 쌍과 켤레 베일리 쌍 (relative to 1)

$\alpha_{n}=(-1)^{n}q^{\frac{3}{2}n^2}(q^{\frac{1}{2}n}+q^{-\frac{1}{2}n})$

$\beta_n=\frac{1}{(q)_{n}}$

$\delta_n=q^{n^2}$

$\gamma_n=\frac{q^{n^2}}{(q)_{\infty}}$
아래의 베일리 보조 정리를 이용하여, 로저스-라마누잔 항등식 을 증명할 수 있다

$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{q^{n^2}}{ (q)_{n}}=\frac{(q^{3};q^{5})_{\infty}(q^{2};q^{5})_{\infty}(q^{5};q^{5})_{\infty}}{(q)_{\infty}}=\frac{1}{(q^{1};q^{5})_{\infty}(q^{4};q^{5})_{\infty}}$

베일리 보조 정리

베일릴 보조 정리는 베일리 쌍과 켤레 베일리 쌍에 대한 항등식이다
네 수열 $\{\alpha_r\}, \{\beta_r\}$ , $\{\delta_r\}, \{\gamma_r\}$ 이

$\beta_L=\sum_{r=0}^{L}{\alpha_r}{u_{L-r}v_{L+r}}$ , $\gamma_L=\sum_{r=L}^{\infty}{\delta_r}{u_{r-L}v_{r+L}}$

이 조건을 만족시키면 다음이 성립한다

$\sum_{n=0}^{\infty}\alpha_n\gamma_{n}=\sum_{n=0}^{\infty}\beta_n\delta_{n}$
다음과 같이 u,v 를 선택한다

$u_{n}=\frac{1}{(q)_n}$ , $v_{n}=\frac{1}{(x)_n}$ , 여기서

역사

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대한수학회 수학용어한글화 게시판

사전 형태의 자료

http://ko.wikipedia.org/wiki/
http://en.wikipedia.org/wiki/Bailey_pair
http://en.wikipedia.org/wiki/Wilfrid_Norman_Bailey
NIST Digital Library of Mathematical Functions
- §17.12 Bailey Pairs

리뷰논문, 에세이, 강의노트

50 Years of Bailey's lemma S. Ole Warnaar, 2009

관련논문

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