포락선(envelope)과 curve stitching

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개요

Curve Stitching 또는 String Art 라는 이름으로 불림

parabola1.gif

그림을 보면, 이 직선들에 접하는 곡선이 나타나는 것을 관찰할 수 있다.

 

등장하는 직선들은,

\frac{x}{t}+\frac{y}{10-t}=1,  t=1,\cdots, 9 로 주어진다.

문제는 "one-parameter family 에 있는 모든 곡선에 적어도 한 점에서 접하는 성질을 갖는" 곡선을 찾는 것이다.

이런 곡선을 주어진 곡선의 family에 대한 envelope 이라 부른다.

 

이 경우엔, 다음 두 방정식에서 t를 소거함으로써 얻을 수 있다.

F(x,y,t)=t^2 + t(y-x-10) + 10x = 0\,

\frac{\partial F(x,y,t)}{\partial t}=2t+ y-x-10 = 0\,

 

따라서 x^2-2 x y-20 x+y^2-20 y+100=0 를 얻는다. 이는 이차곡선(원뿔곡선) 으로 판별식 \Delta=b^2-4ac=4-4=0 인, 포물선이 된다.

 

parabola2.gif

 

 

 

http://playingwithmathematica.com/2011/04/27/curve-stitching-with-mathematica/

http://britton.disted.camosun.bc.ca/string_art/jbstringart.htm

http://www.wikihow.com/Create-a-Line-Design

 

 

베지에 곡선

http://en.wikipedia.org/wiki/B%C3%A9zier_curve#Quadratic_curves

 

 

예

parabolic line construction

http://demonstrations.wolfram.com/CircleChordEnvelope/

 

 

envelope

http://en.wikipedia.org/wiki/Envelope_(mathematics)

http://jwilson.coe.uga.edu/Texts.Folder/Envel/envelopes.html

 

envelope equation

http://www.sjsu.edu/faculty/watkins/envelopetheo.htm

 

Envelopes and String Art (Gregory Quenell) http://faculty.plattsburgh.edu/gregory.quenell/pubpdf/stringart.pdf

 

 

역사

 

 

 

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