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    수학이 알고싶은 중고대딩들을 위한 수학 노트

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교대다항식(alternating polynomial)

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이 항목의 수학노트 원문주소

 

 

개요

 

 

예
  • \left(x_1-x_2\right) \left(x_2-x_3\right)\left(x_3-x_1\right)
  • x_1x_2x_3\left(x_1-x_2\right) \left(x_2-x_3\right)\left(x_3-x_1\right)

 

 

분할과 행렬식

  • 반데몬드 행렬

    \left( \begin{array}{ccc} x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 \ x_1 & x_2 & x_3 \ 1 & 1 & 1 \end{array} \right)

  • 5의 분할 {3, 1, 1} 에 대하여 반데몬드 행렬로부터 다음과 같은 행렬을 만들면, 행렬식은 교대다항식이 된다

    \left( \begin{array}{ccc} x_1^5 & x_2^5 & x_3^5 \ x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 \ x_1 & x_2 & x_3 \end{array} \right)

  • 일반적으로 parts가 3인 분할 \lambda : \lambda_{1}\geq \lambda_{2} \geq \lambda_{3}\geq 0에 대하여, 다음과 같은 3×3 행렬을 정의할 수 있다

    \left( \begin{array}{ccc} x_1^{\lambda _1+2} & x_2^{\lambda _1+2} & x_3^{\lambda _1+2} \ x_1^{\lambda _2+1} & x_2^{\lambda _2+1} & x_3^{\lambda _2+1} \ x_1^{\lambda _3} & x_2^{\lambda _3} & x_3^{\lambda _3} \end{array} \right)

  • 일반적으로 분할  \lambda : \lambda_{1}\geq \cdots \geq \lambda_{n}\geq 0  에 대하여도 같은 방식으로 행렬을 정의할 수 있고, 행렬식으로부터 교대다항식을 얻는다

 

 

인수분해에의 응용
  • f(a,b,c)=a^5(b-c)+b^5(c-a)+c^5(a-b)
  • 교대식이므로, V(a,b,c)=(a-b)(b-c)(c-a) 를 인수로 갖는다
  • f/V 는 3차의 동차 대칭다항식이므로, 적당한 상수 A,B,C 에 대하여  f/V = A(a+b+c)^3+B(a b+b c+c a)(a +b+ c)+C a b c 꼴로 쓰여진다
  • A=-1,B=2,C=-1 이다

 

 

역사

 

 

 

메모

 

 

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