교대다항식(alternating polynomial)

다항식 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 이 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 중에서 두 변수를 바꾸는 permutation 즉 transpotision 에 의해 부호가 바뀔 때, 이를 교대다항식이라 한다
반데몬드 행렬과 행렬식 (Vandermonde matrix) 에서 나타나는 반데몬드 다항식과 대칭다항식의 곱으로 표현된다

반데몬드 행렬

$\left( \begin{array}{ccc} x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 \ x_1 & x_2 & x_3 \ 1 & 1 & 1 \end{array} \right)$
5의 분할 {3, 1, 1} 에 대하여 반데몬드 행렬로부터 다음과 같은 행렬을 만들면, 행렬식은 교대다항식이 된다

$\left( \begin{array}{ccc} x_1^5 & x_2^5 & x_3^5 \ x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 \ x_1 & x_2 & x_3 \end{array} \right)$
일반적으로 parts가 3인 분할 $\lambda : \lambda_{1}\geq \lambda_{2} \geq \lambda_{3}\geq 0$ 에 대하여, 다음과 같은 3×3 행렬을 정의할 수 있다

$\left( \begin{array}{ccc} x_1^{\lambda _1+2} & x_2^{\lambda _1+2} & x_3^{\lambda _1+2} \ x_1^{\lambda _2+1} & x_2^{\lambda _2+1} & x_3^{\lambda _2+1} \ x_1^{\lambda _3} & x_2^{\lambda _3} & x_3^{\lambda _3} \end{array} \right)$
일반적으로 분할 $\lambda : \lambda_{1}\geq \cdots \geq \lambda_{n}\geq 0$ 에 대하여도 같은 방식으로 행렬을 정의할 수 있고, 행렬식으로부터 교대다항식을 얻는다