다항식의 판별식(discriminant)

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다항식의 판별식(discriminant)

개요

n차 다항식의 근을 $x_1,\cdots, x_n$ 이라 할 때, 판별식은 다음과 같이 정의된다

$(\prod_{1\le i<j\le n} (x_j-x_i))^2$
교대다항식(alternating polynomial) 의 곱이므로 대칭다항식 이 되며, 다항식의 계수로 이를 표현할 수 있다

2차식의 판별식

이차식
반데몬드 행렬과 행렬식 (Vandermonde matrix) 을 생각하자

$\left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \ x_1 & x_2 \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} 1 & x_1 \ 1 & x_2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} 2 & x_1+x_2 \ x_1+x_2 & x_1^2+x_2^2 \end{array} \right)$ 의 행렬식을 구하면, 판별식을 얻는다.

근과 계수에 관한 뉴턴-지라드 항등식 을 이용하면,

이 행렬은 $\left( \begin{array}{cc} 2 & -b \ -b & b^2-2 c \end{array} \right)$ 이며, 행렬식은 b^2-4 c 이다.

3차식의 판별식

다항식 를 생각하자.
판별식은 다음 행렬의 행렬식으로 생각할 수 있다.

$\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \ x_1 & x_2 & x_3 \ x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} 1 & x_1 & x_1^2 \ 1 & x_2 & x_2^2 \ 1 & x_3 & x_3^2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{ccc} 3 & x_1+x_2+x_3 & x_1^2+x_2^2+x_3^2 \ x_1+x_2+x_3 & x_1^2+x_2^2+x_3^2 & x_1^3+x_2^3+x_3^3 \ x_1^2+x_2^2+x_3^2 & x_1^3+x_2^3+x_3^3 & x_1^4+x_2^4+x_3^4 \end{array} \right)$
근과 계수와의 관계 에 따라
근과 계수에 관한 뉴턴-지라드 항등식 을 사용하자
위의 행렬은

$\left( \begin{array}{ccc} 3 & 0 & -2 a \ 0 & -2 a & -3 b \ -2 a & -3 b & 2 a^2 \end{array} \right)$ 이며, 행렬식은 가 된다