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양의 정부호 행렬(positive definite matrix)

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이 항목의 수학노트 원문주소

 

 

개요
  • 실계수 n×n 행렬 M이 모든 0이 아닌 벡터 v 에 대하여, v^{T}M v > 0 를 만족시킬 때, 양의 정부호 행렬이라 한다
  • 실베스터 판정법 - leading principal minor 가 모두 양수이면 양의 정부호 행렬이다
  • 다변수함수의 극점을 분류하는 헤세 판정법 에 응용할 수 있다

 

 

 

2×2 행렬의 경우

  • 행렬

    \left( \begin{array}{cc} a_{1,1} & a_{1,2} \ a_{2,1} & a_{2,2} \end{array} \right)

  • principal submatrix

    \left( \begin{array}{c} a_{1,1} \end{array} \right), \left( \begin{array}{c} a_{2,2} \end{array} \right), \left( \begin{array}{cc} a_{1,1} & a_{1,2} \ a_{2,1} & a_{2,2} \end{array} \right)

  • leading principal submatrix

    \left( \begin{array}{c} a_{1,1} \end{array} \right), \left( \begin{array}{cc} a_{1,1} & a_{1,2} \ a_{2,1} & a_{2,2} \end{array} \right)

 

 

3×3 행렬의 경우

  • 행렬

    \left( \begin{array}{ccc} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} \ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} \ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} \end{array} \right)

  • principal submatrix

    \left( \begin{array}{c} a_{1,1} \end{array} \right),\left( \begin{array}{c} a_{2,2} \end{array} \right),\left( \begin{array}{c} a_{3,3} \end{array} \right)

    \left( \begin{array}{cc} a_{1,1} & a_{1,2} \ a_{2,1} & a_{2,2} \end{array} \right), \left( \begin{array}{cc} a_{1,1} & a_{1,3} \ a_{3,1} & a_{3,3} \end{array} \right), \left( \begin{array}{cc} a_{2,2} & a_{2,3} \ a_{3,2} & a_{3,3} \end{array} \right)

    \left( \begin{array}{ccc} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} \ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} \ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} \end{array} \right)

  • leading principal submatrix

    \left( \begin{array}{c} a_{1,1} \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} a_{1,1} & a_{1,2} \ a_{2,1} & a_{2,2} \end{array} \right), \left( \begin{array}{ccc} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} \ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} \ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} \end{array} \right)

 

 

 

예

  • 다음과 같은 5x5 행렬을 생각하자

    \left( \begin{array}{ccccc} 2 & -1 & 0 & 0 & 0 \ -1 & 2 & -1 & 0 & 0 \ 0 & -1 & 2 & -1 & 0 \ 0 & 0 & -1 & 2 & -1 \ 0 & 0 & 0 & -1 & 1 \end{array} \right)

  • leading principal submatrix와 그 행렬식을 구하면 다음과 같다

    \begin{array}{ll} \left( \begin{array}{c} 2 \end{array} \right) & 2 \ \left( \begin{array}{cc} 2 & -1 \ -1 & 2 \end{array} \right) & 3 \ \left( \begin{array}{ccc} 2 & -1 & 0 \ -1 & 2 & -1 \ 0 & -1 & 2 \end{array} \right) & 4 \ \left( \begin{array}{cccc} 2 & -1 & 0 & 0 \ -1 & 2 & -1 & 0 \ 0 & -1 & 2 & -1 \ 0 & 0 & -1 & 2 \end{array} \right) & 5 \ \left( \begin{array}{ccccc} 2 & -1 & 0 & 0 & 0 \ -1 & 2 & -1 & 0 & 0 \ 0 & -1 & 2 & -1 & 0 \ 0 & 0 & -1 & 2 & -1 \ 0 & 0 & 0 & -1 & 1 \end{array} \right) & 1 \end{array}

 

 

역사

 

 

 

메모

 

  • Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=

 

 

관련된 항목들

 

 

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수학용어번역

 

 

 

사전 형태의 자료

 

 

리뷰논문, 에세이, 강의노트

 

 

 

관련논문

  • Gilbert, George T. 1991. “Positive Definite Matrices and Sylvester’s Criterion”. The American Mathematical Monthly 98 (1) (1월 1): 44-46. doi:10.2307/2324036.

  • http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
  • http://www.ams.org/mathscinet
  • http://dx.doi.org/10.2307/2324036

 

 

관련도서

  • 도서내검색

    • http://books.google.com/books?q=
    • http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=

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