3차원 공간의 회전과 SO(3)

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3차원 공간의 회전과 SO(3)

개요

로드리게스 공식

3차원에서 단위벡터 $(\omega _x,\omega _y,\omega _z)$ 를 축으로 하여 $\theta$ 만큼 회전시키는 변환의 행렬표현

$\left( \begin{array}{ccc} \cos (\theta )-(\cos (\theta )-1) \omega _x^2 & (1-\cos (\theta )) \omega _x \omega _y-\sin (\theta ) \omega _z & \sin (\theta ) \omega _y-(\cos (\theta )-1) \omega _x \omega _z \ (1-\cos (\theta )) \omega _x \omega _y+\sin (\theta ) \omega _z & \cos (\theta )-(\cos (\theta )-1) \omega _y^2 & -\sin (\theta ) \omega _x-(\cos (\theta )-1) \omega _y \omega _z \ -\sin (\theta ) \omega _y-(\cos (\theta )-1) \omega _x \omega _z & \sin (\theta ) \omega _x-(\cos (\theta )-1) \omega _y \omega _z & \cos (\theta )-(\cos (\theta )-1) \omega _z^2 \end{array} \right)$
유도 http://www.cs.berkeley.edu/~ug/slide/pipeline/assignments/as5/rotation.html
x,y,z 축을 중심으로 한 회전변환
- x 축
  
  $\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \ 0 & \cos (\theta ) & -\sin (\theta ) \ 0 & \sin (\theta ) & \cos (\theta ) \end{array} \right)$
- y 축
  
  $\left( \begin{array}{ccc} \cos (\theta ) & 0 & \sin (\theta ) \ 0 & 1 & 0 \ -\sin (\theta ) & 0 & \cos (\theta ) \end{array} \right)$
- z 축
  
  $\left( \begin{array}{ccc} \cos (\theta ) & -\sin (\theta ) & 0 \ \sin (\theta ) & \cos (\theta ) & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$

구면과 SO(3)

homogeneous space
에 작용하는 SO(3)의 표현을 통하여 구면조화함수(spherical harmonics) 이론을 전개할 수 있다
http://books.google.com/books?id=bNytaQ8eon4C&pg=PA76&dq=sphere+so%283%29+homogeneous+space&hl=ko&ei=e7XZTr78K-KXiAKrwoGUCg&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=3&ved=0CDgQ6AEwAg#v=onepage&q=sphere%20so%283%29%20homogeneous%20space&f=false

사영표현(projective representation)

단위구면의 회전으로부터 stereographic projection 을 통해 다음과 같은 뫼비우스 변환 을 얻을 수 있다

$f(z)=\frac{\alpha z+\beta}{-\overline{\beta}z+\overline{\alpha}}$

여기서 $\alpha,\beta\in\mathbf{C}, |\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1$
더 구체적으로 단위벡터 를 축으로 하여 $\theta$ 만큼 회전시키는 변환은 다음 뫼비우스 변환에 대응된다

$f(z)=\frac{z \left(\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)+i c \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)\right)+i a \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)-b \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)}{z \left(b \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)+i a \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)\right)-i c \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)+\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)}$
벡터공간이 아닌 1차원 복소사영평면에 정의되므로, 사영표현(projective representation) 이다
벡터공간에 정의되는 표현을 얻으려면, Spin(3)와 파울리 행렬 의 도입이 필요하다

무한소 회전

리대수의 생성원

$L_{x}=\left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & -1 \ 0 & 1 & 0 \end{array} \right)$

$L_{y}=\left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 0 \ -1 & 0 & 0 \end{array} \right)$

$L_{z}=\left( \begin{array}{ccc} 0 & -1 & 0 \ 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$
$[L_{i},L_{j}]=\epsilon_{ijk}L_{k}$
벡터의 외적(cross product)

양자역학의 각운동량 이론과의 관계

(1) 궤도각운동량(Orbital Angular Momentum)

수소원자를 이루는 전자의 각운동량은 3차원 직각좌표계를 도입할 때 $\vec{L} = \hat{x} L_x + \hat{y} L_y + \hat{z} L_z$ 와 같이 성분으로 표기할 수 있다. 불확정성의 원리에 기반하여 실험적으로는 아무리 측정을 잘 해도 이 세 성분을 정확히 측정하는 것은 불가능하다. 양자역학에서는 다음 정준교환자관계식(canonical commutation relation)이 성립한다. 이는 불확정성의 원리와 관계가 있다.