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    수학이 알고싶은 중고대딩들을 위한 수학 노트

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Spin(3)와 파울리 행렬

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이 항목의 수학노트 원문주소

 

 

개요
  • 3차원 리 군(Lie group)의 하나
  • SO(3) 의 double cover
  • unitary unimodular group SU(2)와 동형
  • 2차원 스피너 공간은 Spin(3)의 representation

 

 

정의

SU (2) = \left \{ \begin{pmatrix} \alpha&-\overline{\beta}\\ \beta&\overline{\alpha} \end{pmatrix}: \ \ \alpha,\beta\in\mathbf{C}, |\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1\right \}

 

 

스핀

  • 양자역학적 시스템의 간단한 예

  • 스핀

    • 각운동량의 양자화

    •  SU(2)의 표현론

    • half of highest weight of the module = spin

      • Casimir operator can also detect this number.

    • spin 1/2 is the most important case since they are the matter particles

    • this is why we have half-integral spin although those representations have integral highest weights

    • 스핀이 0인 입자의 스피너(성분이 하나)는 유니타리 변환에 대해 불변이다. 입자물리학에서 이러한 입자들을 스칼라 입자라 부른다.

    • 스핀이 1인 입자의 스피너(성분이 세개)는 유니타리 변환에 대해 벡터처럼 변환한다. 입자물리학에서 이러한 입자들을 벡터 입자라 부른다. (ex. intermediate vector bosons)

    • 스핀이 1/2 인 시스템은 SU(2) 군의 2차원 표현론과 관계있다.

    • 스핀이 1 인 시스템은 SU(2) 군의 3차원 표현론과 관계있다.

    • 스핀이 3/2 인 시스템은 SU(2) 군의 4차원 표현론과 관계있다.

  • 파울리 행렬 (해밀턴의 사원수 참조)

    \sigma_1 = \sigma_x = \begin{pmatrix} 0&1\ 1&0 \end{pmatrix}

    \sigma_2 = \sigma_y = \begin{pmatrix} 0&-i\ i&0 \end{pmatrix}

    \sigma_3 = \sigma_z = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}

  • raising and lowering 연산자

    \sigma_{\pm}=\frac{1}{2}(\sigma_{x}\pm i\sigma_{y})

    \sigma_{+}=\frac{1}{2}(\sigma_{x}+ i\sigma_{y})=\begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{pmatrix}

    \sigma_{-}=\frac{1}{2}(\sigma_{x}- i\sigma_{y})=\begin{pmatrix} 0&0\\ 1&0 \end{pmatrix}

    [\sigma_{z},\sigma_{\pm}]=\pm 2\sigma_{\pm}

 

 

sl(2)

  • 3차원 리대수

    E=\begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{pmatrix}

    F=\begin{pmatrix} 0&0\\ 1&0 \end{pmatrix}

    H=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}

  • commutator

    [E,F]=H

    [H,E]=2E

    [H,F]=-2F

 

 

 

역사

 

 

 

메모

 

 

관련된 항목들

 

 

수학용어번역

 

 

 

사전 형태의 자료

 

 

리뷰논문, 에세이, 강의노트

 

 

 

관련논문

 

 

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Last edited on 02/28/2012 05:07 by 타임워커

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