순환소수와 class number

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개요

1/7의 순환소수전개를 구하는 과정은 $\mathbb{Q}(\sqrt{-7})$ 의 class number 를 계산하기에 충분한 정보를 담고 있다

$\frac{1}{7}=0.\dot{1}4285\dot{7}$ 의 경우

$g_0=1,g_1=3,g_2=2,g_3=6,g_4=4,g_5=5,g_6=1,\cdots$

$y_1=1,y_2=4,y_3=2,y_4=8,y_5=5,y_6=7,\cdots$

$10g_{k-1}=7 y_k+g_k$

여기서

$\frac{-1+4-2+8-5+7}{11}=1$ 가 $\mathbb{Q}(\sqrt{-7})$ 의 class number이다.

$p \equiv 3 \pmod{4}$ 인 경우에 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-p})$ 의 class number 를 구하는 정리

순환소수 전개를 통한 class number의 계산

7이상의 소수 $p \equiv 3 \pmod{4}$ 에 대하여 숫자 "10"이 군 $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times$ 의 원시근(primitive root)이라 하자
- cyclic numbers
예 p=7, p=23
이 경우 의 순환소수 전개를 통해 다음과 같이 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-p})$ 의 class number h를 계산할 수 있다

$\frac{1}{p}=0.\dot{y_1}\cdots\dot{y_{p-1}}$

$h=\frac{\sum_{k=1}^{p-1}(-1)^{k}y_k}{11}$

(증명)

[Girstmair94] 참조

디리클레 L-함수 에 있는 다음 결과를 이용한다.

$h=-\sum_{k=1}^{p-1}(\frac{k}{p})\frac{k}{p}$

${g_k}$ 를 $g_k \equiv 10^k \pmod p$ 를 만족시키는 $\{1,\cdots,p-1\}$ 의 원소로 정의하자.

10이 $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times$ 를 생성하므로

$h=-\sum_{k=1}^{p-1}(\frac{g_k}{p})\frac{g_k}{p}=\sum_{k=1}^{p-1}(-1)^{k+1}\frac{g_k}{p}$

한편 $\frac{1}{p}=0.\dot{y_1}\cdots\dot{y_{p-1}}$ 를 순환소수전개로 얻는다면,

$10g_{k-1}=p y_k+g_k$ 즉,

$y_k=\frac{10g_{k-1}-g_k}{p}$ ( $k=1,\cdots, p-1$ ) 가 성립한다.

다시 증명으로 돌아가자

$11h=10h+h=\sum_{k=1}^{p-1}(-1)^{k+1}\frac{10g_k}{p}-\sum_{k=1}^{p-1}(-1)^{k}\frac{g_k}{p}=\sum_{k=1}^{p-1}(-1)^{k}\frac{10g_{k-1}-g_k}{p}=\sum_{k=1}^{p-1}(-1)^{k}y_k$

따라서

$h=\frac{\sum_{k=1}^{p-1}(-1)^{k}y_k}{11}$ ■

p=7인 경우의 예

7의 경우

$\frac{1}{7}=0.\dot{1}4285\dot{7}$

$\frac{-1+4-2+8-5+7}{11}=1$

정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms) 에서 확인할 수 있듯이 $\mathbb{Q}(\sqrt{-7})$ 의 class number는 1이다.

p=23의 경우

23의 경우

$\frac{1}{23}=0.\dot{0}43478260869565217391\dot{3}$

$\frac{-0+4-3+4-7+8-2+6-0+8-6+9-5+6-5+2-1+7-3+9-1+3}{11}=3$

정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms) 에서 확인할 수 있듯이 $\mathbb{Q}(\sqrt{-23})$ 의 class number는 3이다.

cyclic numbers

cyclic numbers
7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, 223, 229, 233, 257, 263, 269, 313,... 는 10을 원시근으로 갖는 소수
- Cyclic numbers: primes with primitive root 10 참조

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