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    수학이 알고싶은 중고대딩들을 위한 수학 노트

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이중적분과 바젤문제

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이 항목의 수학노트 원문주소

 

 

개요

  • \zeta(2) ={\pi^2}/{6} 의 계산을 다음 이중적분을 이용해 할 수 있다

    \int _0^1\int _0^1\frac{1}{1-x^2 y^2}dxdy

  • 또 다른 이중적분

    \int _0^1\int _0^1\frac{1}{1-x y}dxdy

    도 사용할 수 있는데, 이는 다이로그 함수(dilogarithm) 와 관계있다

 

 

단계 1

I = \int _0^1\int _0^1\frac{1}{1-x^2 y^2}dxdy = \frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+\frac{1}{9^2}+\cdots 임을 먼저 보이자.

\int_{0}^{1} \frac{1}{1-y^2 x^2} \, dx = \frac{\tanh ^{-1}(y)}{y}=1+\frac{y^2}{3}+\frac{y^4}{5}+\frac{y^6}{7}+\frac{y^8}{9}+\frac{y^{10}}{11}+\cdots 이므로

I = \int _0^1\int _0^1\frac{1}{1-x^2 y^2}dxdy = \frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+\frac{1}{9^2}+\cdots 가 성립한다.

 

 

단계 2

I = \int _0^1\int _0^1\frac{1}{1-x^2 y^2}dxdy 에서 x=\sin (u) \sec (v), y=\sec (u) \sin (v) 로 치환을 하자.

자코비안은 다음과 같다.

\left|\left( \begin{array}{cc} \cos (u) \sec (v) & \sin (u) \tan (v) \sec (v) \ \tan (u) \sec (u) \sin (v) & \sec (u) \cos (v) \end{array} \right)\right|=1-\tan ^2(u) \tan ^2(v)

I=\int_{0}^{\pi/2} \int_{0}^{\pi/2-v} \frac{1}{1-\tan ^2(u) \tan ^2(v)}\left(1-\tan ^2(u) \tan ^2(v)\right) dudv =\frac{\pi ^2}{8}

 

 

단계 3

I = \frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+\frac{1}{9^2}+\cdots = \frac{3}{4}\zeta(2) 임을 보이자.

(증명)

\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{8^2}+\frac{1}{10^2}+\cdots = \frac{1}{4}\zeta(2)

따라서

\zeta(2) = I + \frac{1}{4}\zeta(2) ■

 

 

 

역사

 

 

 

메모

 

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